Question

如圖，半圓O為△ABC的外接半圓，AC為直徑，D為劣弧

BC

上的一動(dòng)點(diǎn)，P在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且有∠BAP=∠BDA．求證：AP是半圓O的切線(xiàn)．

Answer 1

分析：因?yàn)椤螧DA和∠BCA為同弧所對(duì)的圓周角，所以相等，又AC為直徑，所以∠ABC=90°，即∠ACB+∠BAC=90°，又∠BAP=∠BDA，所以∠BAP+∠BAC=90°，即AP為切線(xiàn)．

解答：解：∠BDA和∠BCA為同弧所對(duì)的圓周角，
∴∠BDA=∠BCA．
又AC為直徑，
∴∠ABC=90°．
即∠ACB+∠BAC=90°．
又∠BAP=∠BDA，
∴∠BAP+∠BAC=90°．
即AP為切線(xiàn)．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了切線(xiàn)的判定以及相似三角形的判定方法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑判定圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦．