Question

已知：如圖，一次函數(shù)y=-x-2的圖象與二次函數(shù)y=2x²+2x-4的圖象與x軸交于同一點(diǎn)A，且與y軸交于點(diǎn)B，設(shè)二次函數(shù)交y軸于點(diǎn)D，在x軸上有一點(diǎn)C，使以點(diǎn)A、B、C組成三角形與△ADB相似．試求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：利用一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并判斷出△AOB是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AB的長度，∠OAB=∠OBA=45°，然后根據(jù)△ABD中沒有45°的角和∠ABD=135°判斷出∠BAC和∠ABD是對(duì)應(yīng)角為135°，從而判斷出點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊，再分AC和BD，AC和AB是對(duì)應(yīng)邊兩種情況，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出AC的長度，再求出OC的長度，從而得解．

解答：解：令x=0，一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)B（0，-2），
二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為D（0，-4），
∴△AOB是等腰直角三角形，BD=-2-（-4）=2，
∴AB=

22+22

=2

2

，∠OAB=∠OBA=45°，
∵△ABD中，∠BAD、∠ADB都不等于45°，∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠BAC和∠ABD是對(duì)應(yīng)角為135°，
∴點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊，
①AC和BD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△ADB∽△BCA，
∴

AC

BD

=

AB

AB

=1，
∴AC=BD=2，
∴OC=OA+AC=2+2=4，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，0），
②AC和AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，
∵△ADB∽△CBA，
∴

AC

AB

=

AB

BD

=

2

2

，
∴AC=

2

AB=

2

×2

2

=4，
∴OC=OA+AC=2+4=6，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-6，0），
綜上所述，在x軸上有一點(diǎn)C（-4，0）或（-6，0），使以點(diǎn)A、B、C組成的三角形與△ADB相似．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合題型以及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論得出所有符合條件的點(diǎn)．