Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接BF，CF，∠D=∠BFC．
（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若AC=8，tanB=，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)OD⊥AC，得到∠1+∠2=90°，再用同弧所對的圓周角相等得到∠1=∠BFC，然后等量代換得到∠OAD=90°，證明AD是⊙O的切線．（2）根據(jù)垂徑定理求出AE的長，由同弧所對的圓周角相等得到∠C=∠B，求出EF的長，然后在直角△OAE中利用勾股定理求出圓的半徑OA的長，再在直角△OAD中用三角函數(shù)求出AD的長．
解答：（1）證明：∵OD⊥AC于點(diǎn)E，
∴∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．
∵∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，
∴∠D+∠2=90°，∠OAD=90°．
∴OA⊥AD于點(diǎn)A．
∵OA是⊙O的半徑，
∴AD是⊙O的切線．

（2）解：∵OD⊥AC于點(diǎn)E，AC是⊙O的弦，AC=8，
∴
∵∠B=∠C，tanB=，
∴在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC=．
∴EF=EC•tanC=2．
設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=r-2．
在Rt△OAE中，由勾股定理得OA²=OE²+AE²，即r²=（r-2）²+4²．
解得r=5．
∴在Rt△OAE中，．
∴在Rt△OAD中，．
點(diǎn)評：本題考查的是切線的判定，（1）根據(jù)已知條件求出∠OAD=90°，利用切線的判定定理可以判定AD是⊙O的切線．（2）在直角三角形中分別利用勾股定理和三角函數(shù)進(jìn)行計算求出線段AD的長．