解:(1)如圖1,點M就是要找的圓心.
(2)由A(0,4),可得小正方形的邊長為1.設經過點A、B、C的拋物線的解析式為y=ax
2+bx+4,依題意有
,
解得,
;
所以經過點A、B、C的拋物線的解析式為y=-
x
2+
x+4,
把點D(7,0)的橫坐標x=7代入上述解析式,得 y=-
×49+
×7+4=
≠0,
所以點D不在經過A、B、C的拋物線上;
(3)證明:由A(0,4),可得小正方形的邊長為1.
如圖2,設過C點與x軸垂直的直線與x軸的交點為E,連接MC,作直線CD,
∴CE=2,ME=4,ED=1,MD=5,
在Rt△CEM中,∠CEM=90°,
∴MC
2=ME
2+CE
2=4
2+2
2=20,
在Rt△CED中,∠CED=90°,
∴CD
2=ED
2+CE
2=1
2+2
2=5,
∴MD
2=MC
2+CD
2,
∴∠MCD=90°,
又∵MC為半徑,
∴直線CD是⊙M的切線.
分析:(1)題利用“兩弦垂直平分線的交點為圓心”可確定圓心位置;
(2)先根據(jù)A、B、C三點坐標,用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,然后將D點坐標代入拋物線的解析式中,即可判斷出點D是否在拋物線的圖象上;
(3)由于C在⊙M上,如果CD與⊙M相切,那么C點必為切點;因此可連接MC,證MC是否與CD垂直即可.可根據(jù)C、M、D三點坐標,分別表示出△CMD三邊的長,然后用勾股定理來判斷∠MCD是否為直角.
點評:本題為綜合題,涉及圓、平面直角坐標系、二次函數(shù)等知識,需靈活運用相關知識解決問題.本題考查二次函數(shù)、圓的切線的判定等初中數(shù)學的中的重點知識,試題本身就比較富有創(chuàng)新,在網格和坐標系中巧妙地將二次函數(shù)與圓的幾何證明有機結合,很不錯的一道題,令人耳目一新.