Question

在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點(diǎn)E、F，連接EF．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合，求此時(shí)PC的長(zhǎng)；
（2）將三角板從（1）中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)停止，在這個(gè)過(guò)程中，請(qǐng)你觀察、探究并解答：
①∠PEF的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②求從開(kāi)始到停止，線段EF的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,直角三角形斜邊上的中線,三角形中位線定理,矩形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）易證△ABP∽△DPC，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可求出PC的長(zhǎng)．
（2）①過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，如圖2．易證△APE∽△GFP，利用相似三角形的性質(zhì)可以證到∠PEF的正切值是定值，從而得到∠PEF的大小不變；
②根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得QP=QB，從而得到點(diǎn)Q在線段PB的垂直平分線上．然后找出點(diǎn)Q的起點(diǎn)和終點(diǎn)，再利用三角形中位線定理就可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）如圖1，

在矩形ABCD中，
∵∠A=∠D=90°，AP=1，CD=AB=2，
∴PB=

5

，∠ABP+∠APB=90°．
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°．
∴∠ABP=∠DPC．
∴△ABP∽△DPC．
∴

AP

CD

=

PB

PC

，即

1

2

=

5

PC

．
∴PC=2

5

．

（2）①∠PEF的大小不變．
理由：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，如圖2．

∵∠A=∠B=∠AGF=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°，四邊形ABFG是矩形．
∴GF=AB=2．
∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°．
∴∠GPF=∠AEP．
∴△GPF∽△AEP．
∴

PF

PE

=

GF

AP

=

2

1

=2．
在Rt△EPF中，
∵tan∠PEF=

PF

PE

=2，
∴∠PEF的大小不變．
②取EF的中點(diǎn)Q，連接BQ，PQ，PB，如圖3．

∵∠EBF=∠EPF=90°，點(diǎn)Q為EF的中點(diǎn)，
∴QP=

1

2

EF=QB，
∴點(diǎn)Q在線段PB的垂直平分線上．
如圖4，

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B處時(shí)，點(diǎn)Q在BC中點(diǎn)Q₁處；
當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A處時(shí)，點(diǎn)Q在PB的中點(diǎn)Q₂處．
根據(jù)三角形中位線定理得Q₁Q₂=

1

2

PC=

5

．
所以從開(kāi)始到停止，線段EF的中點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)Q₁Q₂為

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上、三角形中位線定理、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性．求動(dòng)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)通常需要以下三步：先確定動(dòng)點(diǎn)的路徑是線段還是圓弧，再確定起點(diǎn)和終點(diǎn)，最后計(jì)算路徑長(zhǎng)．