Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C．已知OA=，tan∠AOC=，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，m）．
①求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
②利用圖象，寫(xiě)出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x的取值范圍；
③求△AOB的面積．

Answer 1

解：（1）如圖，過(guò)A作AE⊥x軸于E點(diǎn)，
在Rt△OAE中，tan∠AOC=，
∴=，即OE=2AE，
∵OA²=OE²+AE²，OA=，
∴4AE²+AE²=5，解得AE=1，
∴OE=2，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），
把A（-2，1）代入反比例函數(shù)得k=-2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-；
把B（，m）代入y=-得m=-2，解得m=-4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，-4），
把A（-2，1）、B（，-4）分別代入y=ax+b得，-2a+b=1，a+b=-4，解得a=-2，b=-3，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-2x-3；

（2）一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x的取值范圍為x＞-2或0＜x＜；

（3）對(duì)于y=-2x-3，令x=0，則y=-3，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=×3×2+×3×=．
分析：（1）過(guò)A作AE⊥x軸于E點(diǎn)，根據(jù)正切的定義得到=，即OE=2AE，然后根據(jù)勾股定理有OA²=OE²+AE²，而OA=，可求得OE=1，從而確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），把A（-2，1）代入反比例函數(shù)求出k，即確定反比例函數(shù)的解析式；接著把B（，m）代入反比例函數(shù)解析式中確定B點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；
（2）觀察圖形得到當(dāng)x＞-2或0＜x＜時(shí)，一次函數(shù)值的圖形在反比例函數(shù)圖形的上方；
（3）先確定D點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD和三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：先根據(jù)條件確定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式，再運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．