Question

如圖所示，直線AB交x軸于點A，交y軸于點B，點C、E在直線AB上，過點C作直線AB的垂線交y軸于點D，且OD=CD=CE．點C的坐標為（a，b），a、b（a＞b）是方程x²-12x+32=0的解．
（1）求DC的長；
（2）求直線AB的解析式；
（3）在x軸的正半軸上是否存在點Q，使△OCB和△OCQ相似？若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先解方程x²-12x+32=0得出C點坐標，進而利用勾股定理求出DC的長度即可；
（2）根據(jù)過點E作EN⊥OA交射線FC于點N，交射線AO與H，則NH=4，易證△DFC≌△CNE，得CN=DF=6，EN=FC=8，得出E點坐標，再求直線AB的解析式；
（3）根據(jù)相似三角形的判定得出使△OCB和△OCQ相似，Q點的坐標即可．
解答：解：（1）解方程x²-12x+32=0得：
x₁=8，x₂=4，
∴C點坐標是（8，4），
過C作CF⊥y軸于F，
在Rt△DFC中，設DO=CO=y，則DF=y-4，CF=8，由勾股定理得：
（y-4）²+8²=y²，
解得：y=10，
即DC=10；

（2）過點E作EN⊥OA交射線FC于點N，交射線AO與H，則NH=4，
易證△DFC≌△CNE，得CN=DF=6，EN=FC=8，
∴E點坐標是（14，12），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
把C（8，4），E（14，12）代入得：，
解得：，
∴y_AB=x-；

（3）存在，
Q₁（，0），Q₂（6，0）．
點評：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的判定與性質，利用數(shù)形結合得出相似三角形是解題關鍵．