Question

【題目】如圖，點C為線段AB上一點，分別以AB、AC、CB為底作頂角為120°的等腰三角形，頂角頂點分別為D、E、F（點E、F在AB的同側，點D在另一側）

（1）如圖1，若點C是AB的中點，則∠CED=______°；

（2）如圖2．若點C不是AB的中點

①求證：△DEF為等邊三角形；

②連接CD，若∠ADC=90°，AD=，請求出DE的長．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）①見解析；②

【解析】

（1）如圖1，作輔助線，構建高線，根據等腰三角形三線合一的性質得DC=AE=CE，證明∠HED=∠EDC=∠CED，由∠CEH=60°得∠DEC=30°；

（2）①作輔助線，構建等邊三角形AEH，先證明四邊形BDHF、四邊形AECH是平行四邊形，得對邊相等，再證明△AEH是等邊三角形，由SAS證明△DHE≌△FCE，可得DE=EF，∠DEH=∠FEC，所以△DEF是等邊三角形；

②過E作EM⊥AB于M，由∠ADC=90°，∠DAC=30°，AD=得∠ACD=60°，CD=1，AC=2，再證CD=BC=1，證∠ECD=90°，由AE=CE得CM=AC=1，CE=，利用勾股定理求出DE=

解：（1）如圖1，過E作EH⊥AB于H，連接CD，

設EH=x，則AE=2x，AH=x，

∵AE=EC，

∴AC=2AH=2x，

∵C是AB的中點，AD=BD，

∴CD⊥AB，

∵∠ADB=120°，

∴∠DAC=30°，

∴DC=2x，

∴DC=CE=2x，

∵EH∥DC，

∴∠HED=∠EDC=∠CED，

∵∠CEH=60°，

∴∠DEC=30°，

故答案為：30°；

（2）①如圖2，延長FC交AD于H，連接HE，

∵CF=FB，

∴∠FCB=∠FBC，

∵∠CFB=120°，

∴∠FCB=∠FBC=30°，

同理：∠DAB=∠DBA=30°，∠EAC=∠ECA=30°，

∴∠DAB=∠ECA=∠FBD，

∴AD∥EC∥BF，

同理AE∥CF∥BD，

∴四邊形BDHE、四邊形AECH是平行四邊形，

∴EC=AH，BF=HD，

∵AE=EC，

∴AE=AH，

∵∠HAE=60°，

∴△AEH是等邊三角形，

∴AE=AH=HE=CE，∠AHE=∠AEH=60°，

∴∠DHE=120°，

∴∠DHE=∠FCE．

∵DH=BF=FC，

∴△DHE≌△FCE（SAS），

∴DE=EF，∠DEH=∠FEC，

∴∠DEF=∠CEH=60°，

∴△DEF是等邊三角形；

②如圖3，過E作EM⊥AB于M，

∵∠ADC=90°，∠DAC=30°，AD=，

∴∠ACD=60°，CD=1，AC=2，

∵∠DBA=30°，

∴∠CDB=∠DBC=30°，

∴CD=BC=1，

∵∠ACE=30°，∠ACD=60°，

∴∠ECD=30°+60°=90°，

∵AE=CE，

∴CM=AC=1，

∵∠ACE=30°，

∴CE=，

Rt△DEC中，DE=== ．