Question

如圖（1），正方形ABCD中，點(diǎn)H從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止．連接DH交正方形對(duì)角線AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作DH的垂線交線段AB、CD于點(diǎn)F、G．
（1）求證：DH=FG；
（2）在圖（1）中延長FG與BC交于點(diǎn)P，連接DF、DP（如圖（2）），試探究DF與DP的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：如圖1，過點(diǎn)F作FP垂直于DC，垂足為P，
∴∠FPD=90°，
∵∠BAD=∠ADC=∠FPG=90°，
∴四邊形AFPD是矩形，
∴AD=FP，
∵EG⊥DH，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠3+∠4=90°，∠1=∠4，
∴∠2=∠3，
，∵∠FPG=∠BCD，F(xiàn)P=CD，
∴△FPG≌△DCH，
∴DH=FG．

（2）如圖2，過點(diǎn)E分別作AD、BC的垂線，交AD、BC于點(diǎn)M、N，過E分別作AB、DC的垂線，交AB、CD于點(diǎn)R、T．
∵點(diǎn)E在AC上，可得四邊形AREM、ENCT是正方形．
∴△FRE≌△DME≌△ENP，
∴FE=DE=EP，
又∵DE⊥FP，
∴DF與DP的關(guān)系為相等且垂直．
分析：（1）過點(diǎn)F作FP⊥DC于點(diǎn)P，因?yàn)檎�方形四邊相等，四個(gè)角都是直角，從而證明△FPG≌△DCH，從而得出結(jié)論．
（2）因?yàn)檎�方形的四個(gè)邊相等，四個(gè)角都是直角，所以很容易證明△FRE≌△DME≌△ENP所以FE=DE=EP，DE⊥FP，從而DF與DP的關(guān)系為相等且垂直．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正方形的性質(zhì)，四邊相等，四個(gè)角是直角，以及全等三角形的判定和性質(zhì)等．