Question

已知拋物線y=x²-2bx+c（c＞0）與y軸的交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為M（m，n）．
（1）若c=2b-1，點(diǎn)M在x軸上，求c的值．
（2）若直線過點(diǎn)A，且與x軸交點(diǎn)為B，直線和拋物線的另一交點(diǎn)為P，且P為線段AB的中點(diǎn)．當(dāng)n取得最大值時(shí)，求拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）把c=2b-1代入y=x²-2bx+c得：y=x²-2bx+2b-1，
∴M（m，n）的坐標(biāo)為，
∵M(jìn)在x軸上，
∴，即b²-2b+1=0，
解得：b=1，
∴c=2b-1=1．

（2）過P作PD⊥x軸，
∵A（0，c），
∴，
∴B（2c，0），
∴，即，
解得：，
∵PD∥AD，
∴，
∵P為AB中點(diǎn)，
∴，
∴OD=c，
∴，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2bx+2b-，
∴===，
∵-1＜0，
∴二次函數(shù)開口向下，存在最大值，
∴當(dāng)b=1時(shí)，n的最大值為，
∴，
∴．
分析：（1）將c的值代入拋物線，確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)M在x軸上，可得關(guān)于b的方程，解出可得出b的值，繼而得出c的值；
（2）過P作PD⊥x軸，根據(jù)直線解析式確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線與直線解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)，由P為AB中點(diǎn)，可得，從而得出c的值，用含b的式子表示出拋物線解析式，表示出n的值，利用配方法求最值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式、配方法求二次函數(shù)最值，解答本題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等量代換的運(yùn)用，難度較大，同學(xué)們注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力．