Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于點(diǎn)A（6，0），C（﹣2，0），與y軸交于點(diǎn)B，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上對(duì)稱軸左側(cè)一點(diǎn)，連接EP，若tan∠BEP＝，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）M是直線CD上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2﹣2，2）或（，）；（3）存在，滿足條件的N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）或（﹣4，﹣5）或（2，1+2）或（﹣2，1﹣2）．

【解析】

（1）將點(diǎn)A（6，0），C（﹣2，0）代入y＝ax2+x+c即可求解析式；

（2）求出直線AB、CD的解析式，點(diǎn)E的坐標(biāo)（2，2），由已知可得∠BEP＝∠BAO，分兩種情況求P點(diǎn)坐標(biāo)：①過點(diǎn)E作EQ∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，交y軸于點(diǎn)Q，當(dāng)y＝2時(shí)求P1點(diǎn)坐標(biāo)；②作點(diǎn)Q關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)Q'，連接BQ'，EQ'，過點(diǎn)Q'作Q'H⊥y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EG⊥Q'H于點(diǎn)G，可以證明△BHQ'∽△Q'GE，得到 ，設(shè)BH＝m，則Q'G＝2m，GE＝m+1，HQ'＝（m+1），由HQ'+Q'G＝HG＝2，求出m＝，可求Q'（，），直線EQ'的解析式為y＝﹣x+，聯(lián)立方程組并解答，即可求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）由平行四邊形對(duì)角線互相平分，分兩種情況求解：①BE∥MN時(shí)，BN的中點(diǎn)與EM的中點(diǎn)重合；②當(dāng)BM∥NE時(shí)，BE的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)重合；建立關(guān)系式求出N點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）將點(diǎn)A（6，0），C（﹣2，0）代入y＝ax2+x+c，

則有 ，

∴ ，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+3；

（2）由題可求B（0，3），D（2，4），

設(shè)直線AB的解析式為y＝k1x+b1，

將A（6，0），B（0，3）代入可得 ，

∴ ，

∴y＝﹣x+3，

設(shè)直線CD的解析式為y＝k2x+b2，

將C（﹣2，0），D（2，4）代入可得 ，

∴，

∴y＝x+2，

∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝2，

∴E（2，2），

∴tan∠BAO＝，

∵tan∠BEP＝，

∴∠BEP＝∠BAO，

①如圖1：過點(diǎn)E作EQ∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，交y軸于點(diǎn)Q，

當(dāng)y＝2時(shí)，﹣x2+x+3＝2，

解得x＝2﹣2 或x＝2+2（舍），

∴P1（2﹣2，2）；

②在①中，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，2），作點(diǎn)Q關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)Q'，連接BQ'，EQ'，

則BQ'＝BQ＝1，EQ'＝EQ＝2，

過點(diǎn)Q'作Q'H⊥y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EG⊥Q'H于點(diǎn)G，

∵∠BQ'E＝90°，

∴∠BQ'H＝90°﹣∠GQ'E＝∠Q'EG，

∵∠BHQ'＝∠Q'GE＝90°，

∴△BHQ'∽△Q'GE，

∴，

∴設(shè)BH＝m，則Q'G＝2m，GE＝m+3﹣2＝m+1，HQ'＝（m+1），

∵HQ'+Q'G＝HG＝2，

∴（m+1）+2m＝2，

∴m＝，

∴HO＝，HQ'＝，

∴Q'（，），

易得直線EQ'的解析式為y＝﹣x+，

解方程組 ，

解得 或（舍），

∴P2（，）；

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2﹣2，2）或（，）；

（3）∵M是直線CD上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，

設(shè)M（m，m+2），N（x，﹣x2+x+3），已知B（0，3），E（2，2），

①當(dāng)BE∥MN時(shí)，BN的中點(diǎn)為（ ），ME的中點(diǎn)為（ ，），

∴，

∴x＝±4，

∴N（4，3）或N（﹣4，﹣5）；

②當(dāng)BM∥NE時(shí)，BE的中點(diǎn)為（1，），MN的中點(diǎn)為（ ），

∴ ＝1， ，

∴x＝±2，

∴N（2，1+2）或N（﹣2，1﹣2）；

綜上所述：滿足條件的N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）或（﹣4，﹣5）或（2，1+2）或（﹣2，1﹣2）．