(2012•西寧)如圖(1),AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,若直線CD與⊙O相切于點C,AD⊥CD,垂足為D.
(1)求證:△ADC∽△ACB;
(2)如果把直線CD向下平行移動,如圖(2),直線CD交⊙O于C、G兩點,若題目中的其他條件不變,且AG=4,BG=3,求tan∠DAC的值.
分析:(1)連OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥CD,而AD⊥CD,則AD∥OC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1=∠2,易得∠1=∠3,則∠2=∠3,又根據(jù)圓周角定理的推論由AB為⊙O的直徑得到∠ACB=90°,根據(jù)三角形相似的判定即可得到結(jié)論;
(2)由于四邊形ABGC為⊙O的內(nèi)接四邊形,根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠B+∠ACG=180°,易得∠ACD=∠B,又∠ADC=∠AGB=90°,利用等角的余角相等得到∠DAC=∠GAB,在Rt△ABG中,AG=4,BG=3,根據(jù)正切的定義得到tan∠GAB=
GB
GA
=
3
4
,即可得到tan∠DAC的值.
解答:(1)證明:連OC,如圖
∵直線CD與⊙O相切于C,
∴OC⊥CD,
又∵AD⊥CD,
∴AD∥OC,
∴∠1=∠2,
∵OC=OA,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
又∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∴Rt△ADC∽Rt△ACB;

(2)解:∵四邊形ABGC為⊙O的內(nèi)接四邊形,
∴∠B+∠ACG=180°,
而∠ACG+∠ACD=180°,
∴∠ACD=∠B,
而∠ADC=∠AGB=90°,
∴∠DAC=∠GAB,
在Rt△ABG中,AG=4,BG=3,
∴tan∠GAB=
GB
GA
=
3
4
,
∴tan∠DAC=
3
4
點評:本題考查了圓的綜合題:熟練掌握圓周角定理、圓的切線性質(zhì)和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵;同時運(yùn)用三角形相似的判定方法和三角函數(shù)的定義解決問題.
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