Question

已知拋物線y=ax²-5ax+c經過點A（3，0），B（4，1）兩點，且與y軸交于點C．

（1）求a，c及C點坐標；
（2）如圖①，連接AB，在拋物線上是否存在點P使△PAB的外接圓圓心在△PAB的邊上？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖②，連接AC，E為AC上任意一點（不與A，C重合），△AEO的外接圓交直線AB于點F，求△EOF面積的最小值及此時點E的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)A（3，0），B（4，1）兩點利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（2）從當△PAB是以A為直角頂點的直角三角形，且∠PAB=90°與當△PAB是以B為直角頂點的直角三角形，且∠PBA=90°，分別求出符合要求的答案；
（3）根據(jù)當OE∥AB時，△FEO面積最小，得出OM=ME，求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-5ax+c經過點A（3，0），B（4，1）兩點，
∴

9a-15a+c=0 16a-20a+c=1

解得：

a= 1 2 c=3

∴C（0，3）．

（2）存在，
①如圖①，若△PAB的外接圓圓心在△PAB的邊PB上時，∠A=90°，
過點P作PM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸于N，
∴∠PAM=∠MPA，
∴△APM∽△BAN，
∵AN=BN=1，
∴PM=AM，
設P（m，

1

2

m²-

5

2

m+3），
由題意得：

1

2

m²-

5

2

m+3=3-m，
化簡得：m²-3m=0，
解得：m=0，或m=3（舍去），
∴P（0，3）．

②若△PAB的外接圓圓心在△PAB的邊PA上時，∠B=90°，
過P作PH⊥NB于H，
∴△BPH∽△BAN，
∴PH=BH，
由題意得：

1

2

m²-

5

2

m+3-1=4-m，
化簡得：m²-3m-4=0，
解得：m=-1，或m=4（舍去），
∴P（-1，6）．
③若△PAB的外接圓圓心在△PAB的邊AB上時，以AB為直徑的圓與拋物線無異于A、B的交點．

解答：（3）如圖②：作EM⊥AO于M，
∵直線AC的解析式為：y=-x+3，
∴tan∠OAC=1，
∴∠OAC=45°，
∴∠OAC=∠OAF=45°，
∴AC⊥AF，
∵S_△FEO=

1

2

OE×OF，
OE最小時S_△FEO最小，
∵OE⊥AC時OE最小，
∵AC⊥AF
∴OE∥AF
∴∠EOM=45°，
∴MO=EM，
∵E在直線CA上，
∴E點坐標為（x，-x+3），
∴x=-x+3，
解得：x=

3

2

，
∴E點坐標為（

3

2

，

3

2

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形結合是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．