Question

如圖：在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為（1，5）、（3，3），一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點M、N，如果以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，則一次函數(shù)y=kx+b的關(guān)系式為________．

Answer 1

y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8
分析：如圖所示，分三種情況考慮：（i）當直線MN與x軸、y軸交于N（2，0）、M（0，2），此時MN=AB=2，且直線MN與直線AB斜率相同，即兩直線平行，可得出此時AMNB為平行四邊形，滿足題意，求出此時直線MN的方程；（ii）當直線與x軸，y軸分別交于N′、M′，此時M′N′=AB=2，且直線M′N′與直線AB斜率相同，即兩直線平行，可得出AN′M′B為平行四邊形，求出此時直線的方程；（iii）直線與x軸，y軸分別交于N′′、M′′，直線M′′N′′與直線AB交于C點，若C為M′′N′′與AB中點，四邊形為平行四邊形，求出此時直線方程即可．
解答：解：如圖所示：分三種情況考慮：
（i）當直線MN與x軸、y軸交于N（2，0）、M（0，2），此時MN=AB=2，
且直線MN與直線AB斜率相同，都為-1，即兩直線平行，
∴AMNB為平行四邊形，
將M、N兩點代入y=kx+b中得：，
解得：k=-1，b=2，此時直線MN的方程為y=-x+2；
（ii）當直線與x軸，y軸分別交于N′（-2，0）、M′（0，-2），此時M′N′=AB=2，
且直線M′N′與直線AB斜率相同，都為-1，即兩直線平行，
∴AN′M′B為平行四邊形，
將M′、N′兩點坐標代入y=kx+b中得：，
解得：k=-1，b=-2，此時直線的方程為y=-x-2；
（iii）直線與x軸，y軸分別交于N′′、M′′，直線M′′N′′與直線AB交于C點，
若C為M′′N′′與AB中點，四邊形為平行四邊形，此時C坐標為（2，4），M′′（0，8），N′′（4，0），
將M′′、N′′兩點坐標代入y=kx+b得：，
解得：k=-2，b=8，
此時直線方程為y=-2x+8，
綜上，一次函數(shù)y=kx+b解析式為y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8．
故答案為：y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8
點評：此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：平行四邊形的判定與性質(zhì)，兩點間的距離公式，直線的斜率，平行四邊形的判定，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標與圖形性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想，做題時注意考慮問題要全面，不用漏解．