Question

【題目】如圖①,拋物線的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，二次函數(shù)的對(duì)稱軸與軸的交于點(diǎn)，作射線．

拋物線的解析式為 ； 點(diǎn)坐標(biāo)為_ ；

求證：射線是的角平分線；

如圖②，點(diǎn)是的正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，與直線交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，連結(jié)，將沿翻折，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．在圖②中探究；是否存在點(diǎn)，使褥恰好落在軸的正半軸上?若存在，請(qǐng)求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）存在，

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)，的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式；把拋物線的表達(dá)式化成頂點(diǎn)式得到點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，先計(jì)算出OC、BC、BE的長(zhǎng)度，再利用三角函數(shù)計(jì)算出EF的長(zhǎng)度，證得，從而證出射線是的角平分線；

（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)，的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線的函數(shù)表達(dá)式，由點(diǎn)的坐標(biāo)可得出點(diǎn)，的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出的長(zhǎng)度，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得出的長(zhǎng)度，由菱形的性質(zhì)可得出，進(jìn)而可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值（取正值），進(jìn)而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；

解：（1）將，代入，得：

，解得：，

二次函數(shù)的表達(dá)式為．

如圖①，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)

在中，

是的角平分線

存在

如圖②，由題意，得

,

當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)直線的解析式為

將代入

得

直線的解析式為

點(diǎn)

點(diǎn)落在軸的正半軸上

點(diǎn)在直線上方

過(guò)點(diǎn)作,垂足為點(diǎn),

解得（舍棄），