Question

【題目】如圖①，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，C的坐標(biāo)為 ，直角頂點(diǎn)B在第四象限，線段AC與x軸交于點(diǎn)D.將線段DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE.

（1）直接寫出點(diǎn)B、D、E的坐標(biāo)并求出直線DE的解析式.
（2）如圖②，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度沿線段AC從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，過點(diǎn)P作與x軸平行的直線PG，交直線DE于點(diǎn)G，求與△DPG的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量t的取值范圍.

（3）如圖③，設(shè)點(diǎn)F為直線DE上的點(diǎn)，連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FE以每秒 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到E后停止.當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，是否存在點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得：B(4,-1),D(1,0).E(-2,3)

設(shè)直線DE為

把D(1,0).E(-2,3)代入得

解之得：

∴直線DE為：

（2）解：在Rt△ABC中，由

，

由

同理可得：

由題意可知： ，∠DPG=∠DAB=45°

∴△DPG為等腰直角三角形

①當(dāng) 時(shí)

∴

②當(dāng) 時(shí)，

易得

綜上： （ ）

（3）解：如圖③，易得∠EDO=45°．

過點(diǎn)E作EK∥x軸交 軸于H，則∠KEF=∠EDO=45°．

過點(diǎn)F作FG⊥EK于點(diǎn)G，則FG=EG= ．

由題意，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線AF+EF，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：

，

∴ ，即運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于折線AF+FG的長度．

由垂線段最短可知，折線AF+FG的長度的最小值為EK與線段AB之間的垂線段．

則t最小=AH，AH與 軸的交點(diǎn)，即為所求之F點(diǎn)．

∵直線DE解析式為：

∴F（0，1）．

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少

【解析】（1）根據(jù)坐標(biāo)的定義結(jié)合題意可得B、D、E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線DE的解析式即可。
（2）先根據(jù)勾股定理分別求出AC、AD的長，再證明△DPG為等腰直角三角形，得出 s=DP2 .分兩種情況：①當(dāng) 0 ≤ t ≤ 時(shí)；②當(dāng) < t ≤ 4 時(shí)，分別求出DP的長，即可得出結(jié)果。
（3）過點(diǎn)E作EK∥x軸交y軸于H，則∠KEF=∠EDO=45°．過點(diǎn)F作FG⊥EK于點(diǎn)G，則FG=EG=EF，由題意，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線AF+EF，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=AF+EF，推出t=AF+FG，即運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于折線AF+FG的長度，由垂線段最短可知，折線AF+FG的長度的最小值為EK與線段AB之間的垂線段．則t最小=AH，直線DE與y軸的交點(diǎn)即為所求之F點(diǎn)。