【題目】已知點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線BD的中點(diǎn).

(1)如圖1,若點(diǎn)E是OD的中點(diǎn),點(diǎn)F是AB上一點(diǎn),且使得CEF=90°,過(guò)點(diǎn)E作MEAD,交AB于點(diǎn)M,交CD于點(diǎn)N.

AEM=FEM; 點(diǎn)F是AB的中點(diǎn);

(2)如圖2,若點(diǎn)E是OD上一點(diǎn),點(diǎn)F是AB上一點(diǎn),且使,請(qǐng)判斷EFC的形狀,并說(shuō)明理由;

(3)如圖3,若E是OD上的動(dòng)點(diǎn)(不與O,D重合),連接CE,過(guò)E點(diǎn)作EFCE,交AB于點(diǎn)F,當(dāng)時(shí),請(qǐng)猜想的值(請(qǐng)直接寫出結(jié)論).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;證明見(jiàn)解析;(2)EFC是等腰直角三角形.理由見(jiàn)解析;(3)

【解析】

試題分析:(1)過(guò)點(diǎn)E作EGBC,垂足為G,根據(jù)ASA證明CEG≌△FEM得CE=FE,再根據(jù)SAS證明ABE≌△CBE 得AE=CE,在AEF中根據(jù)等腰三角形“三線合一”即可證明結(jié)論成立;設(shè)AM=x,則AF=2x,在RtDEN中,EDN=45°,DE=DN=x, DO=2DE=2x,BD=2DO=4x.在RtABD中,ADB=45°,AB=BD·sin45°=4x,又AF=2x,從而AF=AB,得到點(diǎn)F是AB的中點(diǎn).;(2)過(guò)點(diǎn)E作EMAB,垂足為M,延長(zhǎng)ME交CD于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)E作EGBC,垂足為G.則AEM≌△CEG(HL),再證明AME≌△FME(SAS),從而可得EFC是等腰直角三角形.(3)方法同第(2)小題.過(guò)點(diǎn)E作EMAB,垂足為M,延長(zhǎng)ME交CD于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)E作EGBC,垂足為G.則AEM≌△CEG(HL),再證明AEM≌△FEM (ASA),得AM=FM,設(shè)AM=x,則AF=2x,DN =x,DE=x,BD=x,AB=x,=2x:x=

試題解析:(1)過(guò)點(diǎn)E作EGBC,垂足為G,則四邊形MBGE為正方形,ME=GE,MFG=90°,即MEF+FEG=90°,又CEG+FEG=90°,∴∠CEG=FEM.又GE=ME,EGC=EMF=90°,∴△CEG≌△FEM.CE=FE,四邊形ABCD為正方形,AB=CB,ABE=CBE=45°,BE=BE,∴△ABE≌△CBE.AE=CE,又CE=FE,AE=FE,又EMAB, ∴∠AEM=FEM.

設(shè)AM=x,AE=FE,又EMAB,AM=FM=x,AF=2x,由四邊形AMND為矩形知,DN=AM=x,在RtDEN中,EDN=45°,DE=DN=x,DO=2DE=2x,BD=2DO=4x.在RtABD中,ADB=45°,AB=BD·sin45°=4=4x,又AF=2x,AF=AB,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn).

(2)EFC是等腰直角三角形.過(guò)點(diǎn)E作EMAB,垂足為M,延長(zhǎng)ME交CD于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)E作EGBC,垂足為G.則AEM≌△CEG(HL),∴∠AEM=CEG,設(shè)AM=x,則DN=AM=x,DE =x,DO=3DE=3x,BD=2DO=6x.AB=6x,又,AF=2x,又AM=x,AM=MF=x,∴△AME≌△FME(SAS),AE=FE,AEM=FEM,又AE=CE,AEM=CEG,FE=CE,FEM=CEG,又MEG=90°,∴∠MEF+FEG=90°,∴∠CEG+FEG=90°,即CEF=90°,又FE=CE,∴△EFC是等腰直角三角形.

(3) 過(guò)點(diǎn)E作EMAB,垂足為M,延長(zhǎng)ME交CD于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)E作EGBC,垂足為G.則AEM≌△CEG(HL),∴∠AEM=CEG. EFCE,∴∠FEC =90°,∴∠CEG+FEG=90°.又MEG =90°,∴∠MEF+FEG=90°,∴∠CEG=MEF,∵∠CEG =AEF,∴∠AEF=MEF,∴△AEM≌△FEM (ASA),AM=FM.設(shè)AM=x,則AF=2x,DN =x,DE=x,BD=x. AB=x.=2x:x=

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(1)直接寫出點(diǎn)B、D、E的坐標(biāo)并求出直線DE的解析式.
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(3)如圖③,設(shè)點(diǎn)F為直線DE上的點(diǎn),連接AF,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段FE以每秒 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到E后停止.當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí),是否存在點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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