Question

如圖，直線l過點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）兩點(diǎn)，它與拋物線y-ax²在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)P，又知△AOP的面積為

11

2

．
（1）求tan∠OAB的值及P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線y=ax²的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）由A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)得到OA=4，OB=4，則可利用正切的定義求tan∠OAB的值；再利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-x+4，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-t+4），（t＞0），于是根據(jù)三角形面積公式得到

1

2

×4×（-t+4）=

11

2

，解得t=

5

4

，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

4

，

11

4

）；
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把點(diǎn)P坐標(biāo)代入y=ax²中可計(jì)算出a的值，從而得到拋物線解析式．

解答：解：（1）∵A（4，0）、B（0，4），
∴OA=4，OB=4，
∴tan∠OAB=

OB

OA

=

4

4

=1，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（4，0）、B（0，4）分別代入得

4k+b=0 b+4

，解得

k=-1 b=4

，
∴直線AB的解析式為y=-x+4，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-t+4），（t＞0），
∵△AOP的面積為

11

2

，
∴

1

2

×4×（-t+4）=

11

2

，解得t=

5

4

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

4

，

11

4

）；
（2）∵點(diǎn)P（

5

4

，

11

4

）在拋物線y=ax²上，
∴（

5

4

）²•a=

11

4

，解得a=

44

25

，
∴拋物線解析式為y=

44

25

x²．

點(diǎn)評：主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），當(dāng)a＞0時(shí)，在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而減小，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大；當(dāng)a＜0時(shí)，在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而增大，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減�。�也考查拋物線與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題和銳角三角函數(shù)的定義．