Question

將直角邊長(zhǎng)為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C及點(diǎn)B（-3，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線交AC于點(diǎn)E，連接AP，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，試用含x的代數(shù)式表示△APE的面積S；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)G為第一象限內(nèi)的該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于S的一個(gè)確定的值，始終存在點(diǎn)G，滿足△AGC的面積與（2）中△APE的面積相等，求符合題意的點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)C（6，0），B（-3，0），運(yùn)用交點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)得出S_△PCE=

(x-6) 2

3

，進(jìn)而求出△APE的面積S；
（3）表示出S_△AGC=

1

2

GH•CO=-x²+6x，進(jìn)而求出x的取值范圍．

解答：（1）由題意得，A（0，6），C（6，0），B（-3，0），
解：設(shè)拋物線解析式為：y=a（x+3）（x-6），
解得：a=-

1

3

，
∴y=-

1

3

（x+3）（x-6），
=-

1

3

x²+x+6，

（2）如圖，∵PE∥AB，
∴△PCE∽△BCA，
∴

S△PCE

S△BCA

= 

PC2

BC2

，

S△PCE

27

=

(6-x)2

81

，
∴S_△PCE=

(x-6) 2

3

，
∴S=S_△APC-S_△PCE=-

1

3

x²+x+6，
=-

1

3

（x-

3

2

）²+

27

4

，
（當(dāng)x=

3

2

時(shí)，S有最大值為

27

4

）；
故S的取值范圍是：0＜S≤

27

4

，（-3＜x＜6）；
（3）設(shè)G（x，-

1

3

x²+x+6）
過(guò)G作GH∥y軸交直線AC于點(diǎn)H，
易得直線AC：y=-x+6，
∴H（x，-x+6）
∴GH=-

1

3

x²+x+6-（-x+6）=-

1

3

x²+2x，
∴S_△AGC=

1

2

GH•CO=-x²+6x=-（x-3）²+9，
故S△AGC的取值范圍是：0＜S_△AGC≤9，（0＜x＜6）；
當(dāng)S_△AGC=

27

4

時(shí)，-x²+6x=

27

4

，
解得：x₁=

3

2

，x₂=

9

2

，
∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)x的取值范圍是0＜x≤

3

2

或

9

2

≤x＜6時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題目，利用交點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的性質(zhì)是考查的重點(diǎn)內(nèi)容，同學(xué)們應(yīng)學(xué)會(huì)應(yīng)用．