Question

如圖，以△ABC的三邊為邊，在BC的同側(cè)分別作3個等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形？
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形，并說明理由．
（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是菱形，并說明理由．
（4）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是正方形，不要說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定,菱形的判定,矩形的判定

專題：幾何圖形問題,探究型

分析：（1）可先證明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）如四邊形ADEF是矩形，則∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；
（3）若四邊形ADEF是菱形，則AD=AF，所以AB=AC，則△ABC是等腰三角形；
（4）若四邊形ADEF是正方形，則AD=AF，且∠DAF=90°，所以△ABC是等腰三角形，且∠BAC=150°．

解答：證明：（1）∵△ABD，△BCE都是等邊三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．
在△ABC與△DBE中，

AB=BD ∠DBE=∠ABC BC=BE

，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四邊形ADEF是平行四邊形．

（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴當(dāng)∠DAF=90°時，四邊形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
則當(dāng)∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；

（3）∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴當(dāng)AD=AF時，四邊形ADEF是菱形，
又∵AD=AB，AF=AC，
∴AB=AC時，四邊形ADEF是菱形；

（4）綜合（2）、（2）知，當(dāng)△ABC是等腰三角形，且∠BAC=150°時，四邊形ADEF是正方形．

點(diǎn)評：本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°、平行四邊形和矩形的判定等知識．難度較大．