Question

如圖，正方形ABCD中，G為射線BC上一點，連接AG，過G點作GN⊥AG，再作∠DCM的平分線，交GN于點H．
（1）如圖1，當(dāng)G是線段BC的中點時，求證：AG=GH；
（2）如圖2，當(dāng)G是線段BC上任意一點時，（1）中結(jié)論還成立嗎？若不成立請說明理由；若成立，請寫出證明過程．
（3）當(dāng)G是線段BC的延長線上任意一點時，（1）中結(jié)論還成立嗎？若不成立請說明理由；若成立，請寫出證明過程．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）取AB的中點E，連接GE，則GC=AE，由已知可推出∠AEG=∠GCH，∠EAG=∠CGH，從而利用ASA判定△AEG≌△GCH，從而得到AG=GH；
（2）在AB上取一點E，使AE=GC，連接EG，同理可證：△AEG≌△GCH，所以AG=GH；
（3）在BA的延長線上取一點E，使AE=GC，連接EG，同理可證：△AEG≌△GCH，所以AG=GH．

解答：（1）證明：如圖1，取AB的中點E，連接GE，則GC=AE．
∵四邊形ABCD是正方形，G是線段BC的中點，
∴BG=BE=AE=GC，
∴△BEG為等腰直角三角形，
∴∠AEG=135°，
而CH是∠DCM的平分線，
∴∠GCH=135°，
∴∠AEG=∠GCH．
∵AG⊥GH，
∴∠CGH+∠AGB=90°，
又∵∠EAG+∠AGB=90°，
∴∠EAG=∠CGH．
在△AEG與△GCH中，

∠AEG=∠GCH AE=GC ∠EAG=∠CGH

，
∴△AEG≌△GCH（ASA），
∴AG=GH；

（2）解：當(dāng)G是線段BC上任意一點時，AG=GH仍成立．理由如下：
如圖2，在AB上取一點E，使AE=GC，連接EG．
∵四邊形ABCD是正方形，CH平分∠DCM，
∴∠GCH=135°．
∵BE=BG，
∴∠BEG=45°，
∴∠AEG=135°，
∴∠AEG=∠GCH．
∵AG⊥GH，
∴∠CGH+∠AGB=90°，
又∵∠EAG+∠AGB=90°，
∴∠EAG=∠CGH．
在△AEG與△GCH中，

∠AEG=∠GCH AE=GC ∠EAG=∠CGH

，
∴△AEG≌△GCH（ASA），
∴AG=GH；

（3）解：當(dāng)G是線段BC的延長線上任意一點時，AG=GH仍成立．理由如下：
如圖3，在BA的延長線上取一點E，使AE=GC，連接EG，則BE=BG．
∵∠B=90°，BG=BE，
∴∠AEG=45°，
又∠GCH=45°，
∴∠AEG=∠GCH．
∵∠EAG=90°+∠DAG，∠CGH=90°+∠BGA，
∵AD∥CB，
∴∠DAG=∠BGA，
∴∠EAG=∠CGH．
在△AEG與△GCH中，

∠AEG=∠GCH AE=GC ∠EAG=∠CGH

，
∴△AEG≌△GCH（ASA），
∴AG=GH．

點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造三角形全等是解題關(guān)鍵．