Question

【題目】定義：形如y＝|G|（G為用自變量表示的代數式）的函數叫做絕對值函數．

例如，函數y＝|x﹣1|，y＝，y＝|﹣x2+2x+3|都是絕對值函數．

絕對值函數本質是分段函數，例如，可以將y＝|x|寫成分段函數的形式：．

探索并解決下列問題：

（1）將函數y＝|x﹣1|寫成分段函數的形式；

（2）如圖1，函數y＝|x﹣1|的圖象與x軸交于點A（1，0），與函數y＝的圖象交于B，C兩點，過點B作x軸的平行線分別交函數y＝，y＝|x﹣1|的圖象于D，E兩點．求證△ABE∽△CDE；

（3）已知函數y＝|﹣x2+2x+3|的圖象與y軸交于F點，與x軸交于M，N兩點（點M在點N的左邊），點P在函數y＝|﹣x2+2x+3|的圖象上（點P與點F不重合），PH⊥x軸，垂足為H．若△PMH與△MOF相似，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）P的坐標為（6，21），（，），（，）．

【解析】

(1)根據題中規(guī)定的寫法寫出即可．

(2)根據題意分別得出B、C、E、D的坐標,根據對應邊成比例且夾角相等即可證明相似．

(3)根據題意先算出F、M、N的坐標,再利用設坐標點的方法,分類討論,根據相似對應邊成比例代入求解即可．

(1)；

(2)∵函數y＝|x﹣1|與函數的圖象交于B,C,過點B作x軸的平行線分別交函數,y＝|x﹣1|的圖象于D,E兩點．

∴根據條件得各點坐標為：B(3,2),C(﹣2,3),E(﹣1,2),D(﹣3,2)．

∴BE＝3﹣(﹣1)＝4,DE＝﹣1﹣(﹣3)＝2,AE＝,CE＝,

∴在△AEB和△CED中,∠AEB＝∠CED,,

∴△PMB∽△PNA．

(3)P的坐標為(6,21),(, ),(,)．

當x＝0時,y＝|﹣x2+2x+3|＝3,∴F(0,3)．

當y＝0時,|﹣x2+2x+3|＝0,∴x1＝﹣1,x2＝3,∴M(﹣1,0),N(3,0)．

由題意得y＝|﹣x2+2x+3|＝,

設P的橫坐標為x,

當x＜﹣1時,由題意得P(x,x2﹣2x﹣3),

若△PMH∽△FMO, ,．

解得x1＝﹣1(舍去),x2＝0(舍去)．

若△PMH∽△MFO, ,．

解得x1＝﹣1(舍去),x2＝(舍去)．

當﹣1＜x＜3時,由題意得P(x,﹣x2+2x+3),

若△PMH∽△MFO,,．

解得x1＝﹣1(舍去),x2＝．

∴P的坐標為(,)．

若△PMH∽△MFO,,．

解得x1＝﹣1(舍去),x2＝0(舍去)．

當x＞3時,由題意P(x,x2﹣2x﹣3),

若△PMH∽△FMO,,．

解得x1＝﹣1(舍去),x2＝6．

∴P的坐標為(6,21)．

若△PMH∽△MFO,,．

解得 x1＝﹣1(舍去),x2＝．

∴P的坐標為(,)．

綜上：P的坐標為(6,21),(,),(,)．