Question

已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，0），在直線AB上有一點(diǎn)P，使△ABO與△ADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)E，使△ADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

（1）拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3；

（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（﹣1，4），P2（1，2）

（3）不存在，理由詳見解析

【解析】

試題分析：∵拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，

∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點(diǎn)分別代入y=ax2+bx+c，

得方程組，

解得：，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3；

（2）由題意可得：△ABO為等腰三角形，如答圖1所示，

若△ABO∽△AP1D，則，

∴DP1=AD=4，

∴P1（﹣1，4），

若△ABO∽△ADP2 ，過點(diǎn)P2作P2 M⊥x軸于M，AD=4，

∵△ABO為等腰三角形，

∴△ADP2是等腰三角形，

由三線合一可得：DM=AM=2=P2M，即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，

∴P2（1，2），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（﹣1，4），P2（1，2）；

（3）不存在．

理由：如答圖2，設(shè)點(diǎn)E（x，y），則 S△ADE=

①當(dāng)P1（﹣1，4）時(shí)，

S四邊形AP1CE=S△ACP1+S△ACE==4+|y|，

∴2|y|=4+|y|，

∴|y|=4

∵點(diǎn)E在x軸下方，

∴y=﹣4，代入得：x2﹣4x+3=﹣4，即x2﹣4x+7=0，

∵△=（﹣4）2﹣4×7=﹣12＜0

∴此方程無(wú)解；

②當(dāng)P2（1，2）時(shí)，

S四邊形AP2CE=S△ACP2+S△ACE==2+|y|，

∴2|y|=2+|y|，

∴|y|=2

∵點(diǎn)E在x軸下方，

∴y=﹣2，代入得：x2﹣4x+3=﹣2，即x2﹣4x+5=0，

∵△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0

∴此方程無(wú)解

綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)E．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.