Question

已知：四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD,∠BAD=120°,點(diǎn)E是射線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與C、D不重合）,將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后,得到△ABE',連接EE'.
（1）如圖1,∠AEE'=       °;

（2）如圖2,如果將直線AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后交直線BC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)E作EM∥AD交直線AF于點(diǎn)M,寫出線段DE、BF、ME之間的數(shù)量關(guān)系;

（3）如圖3,在（2）的條件下,如果CE=2,AE=,求ME的長(zhǎng).

Answer 1

(1)∠AEE'=30°;
(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí),;
當(dāng)點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上時(shí),
時(shí),;
時(shí),; 
時(shí),;
(3) ．

試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可;
（2）根據(jù)題意得到AN=E'N,EN=NE',再M(fèi)E∥BC,得到,從而得到線段DE、BF、ME之間的數(shù)量關(guān)系;
（3）通過(guò)作輔助線,求出,再由（2）的結(jié)論得到ME的長(zhǎng)．
試題解析：(1)根據(jù)題意知：AE=AE' ,∠E'AE=120°,所以∠AEE'=30°;
(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí),設(shè)AF與EE'相交于N,
∵∠E'AE=120°,∠EAF=30°,
∴∠E'AN=90°,∠AE'N=30°,
∴AN=E'N,
∵∠NAE=∠NEA=30°,
∴AN=EN,即EN=NE',
∵M(jìn)E∥BC
∴△MNE∽△FNE'
∴,而E'B=DE,
∴;
同理：當(dāng)點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上,
時(shí),;
時(shí),; 
時(shí),;
(3)作于點(diǎn)G, 作于點(diǎn)H.

由AD∥BC,AD=AB=CD,∠BAD=120°,得∠ABC=∠DCB=60°,
易知四邊形AGHD是矩形和兩個(gè)全等的直角三角形.
則GH="AD" , BG=CH.
∵,
∴點(diǎn)、B、C在一條直線上.
設(shè)AD=AB=CD=x,則GH=x,BG=CH=,.
作于Q.
在Rt△EQC中,CE="2," ,
∴, .
∴E'Q=.
作于點(diǎn)P.
∵△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后,得到△ABE'.
∴△AEE'是等腰三角形,.
∴在Rt△APE'中,E'P=.
∴EE'=2E'P=.  
∴在Rt△EQ E'中,E'Q=.
∴.
∴.
∴,.
∴
在Rt△E'AF中,,
∴Rt△AG E'∽R(shí)t△FA E'.
∴
∴.
∴.
由（2）知：
∴．