精英家教網(wǎng)已知:如圖,△ABC中,AB=AC=10m,BC=16m,現(xiàn)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動,運(yùn)動速度為
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m/s.問P點(diǎn)經(jīng)過幾秒后,線段AP把△ABC分割而得的三角形中至少有一個是直角三角形?
分析:本題需分∠APC=90°∠PAC=90°∠PAB=90°三種情況討論,再根據(jù)BP、CP、AP、AB以及BC邊上的高AD之間的關(guān)系列出方程,求出解即可.
解答:解:設(shè)P點(diǎn)經(jīng)過t秒后,線段AP把△ABC分割而得的三角形中至少有一個是直角三角形
此時BP=
1
4
t,PC=16-
1
4
t
精英家教網(wǎng)
(1)當(dāng)∠APC=90°時,AP⊥BC,
∵AB=AC,AP⊥BC,
∴BP=CP=
1
2
BC=8
,
1
4
t=8
,
∴t=32;

(2)當(dāng)∠PAC=90°時,過A作AD⊥BC
精英家教網(wǎng)
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD=
1
2
BC=8

∴PD=BD-BP=8-
1
4
t
,
在Rt△ADC中,AD2=AC2-CD2
∴AD=6,
在Rt△PAC中,AP2=CP2-AC2,
在Rt△ADP中,AP2=AD2+PD2,
∴CP2-AC2=AD2+PD2,
(16-
1
4
t)2-100=(8-
1
4
t)2+36
,
解得t=14;

(3)當(dāng)∠PAB=90°時,過A作AE⊥BC
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∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BE=CE=
1
2
BC=8
,
∴PE=BP-BE=
1
4
t
-8,
在Rt△AEC中,AE2=AC2-CE2,
∴AE=6,
在Rt△PAB中,AP2=BP2-AB2,
在Rt△AEP中,AP2=AE2+PE2,
∴BP2-AB2=AE2+PE2,
(
1
4
t)2-100=(
1
4
t-8)2+36
,
解得t=50.
答:P點(diǎn)經(jīng)過14秒或32秒或50秒后,線段AP把△ABC分割而得的三角形中至少有一個是直角三角形.
點(diǎn)評:本題解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思,根據(jù)題目給出的條件,找出合適的等量關(guān)系,列出方程,再求解.
練習(xí)冊系列答案
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17、已知,如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,BE平分∠ABC,交AD于點(diǎn)M,AN平分∠DAC,交BC于點(diǎn)N.
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求:BD的長.

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(1)請問:AB、BD、DC有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
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