Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+6x+c的圖象經(jīng)過點A（4，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點C，點D在線段OC上，OD=t，點E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足為F．

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）求線段EF、OF的長（用含t的代數(shù)式表示）；

（3）當(dāng)△ECA為直角三角形時，求t的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=﹣2x²+6x+8；（2）EF=t，OF=t﹣2；（3）或8

【解析】

試題分析：（1）由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（4，0）、B（﹣1，0）根據(jù)待定系數(shù)法求解；

（2）先根據(jù)同角的余角相等可得∠DEF=∠ODA，即可證得△EDF∽△DAO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即可得到EF的長，同理可得DF的長，即可求得OF的長；

（3）先求的拋物線與y軸的交點C，即得OC的長，過E點作EM⊥x軸于點M，則在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，分當(dāng)∠CEA=90°時，當(dāng)∠ECA=90°時，兩種情況，根據(jù)勾股定理列方程求解即可.

（1）二次函數(shù)y=ax²+6x+c的圖象經(jīng)過點A（4，0）、B（﹣1，0），

∴，解得，

∴這個二次函數(shù)的解析式為：y=﹣2x²+6x+8；

（2）∵∠EFD=∠EDA=90°

∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，

∴∠DEF=∠ODA

∴△EDF∽△DAO

∴．

∵，

∴=，

∴，

∴EF=t．

同理，

∴DF=2

∴OF=t﹣2．

（3）∵拋物線的解析式為：y=﹣2x²+6x+8，

∴C（0，8），OC=8．

如圖，過E點作EM⊥x軸于點M

則在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，

當(dāng)∠CEA=90°時，CE²+AE²=AC²

解得

當(dāng)∠ECA=90°時，CE²+AC²=AE²

解得

即點D與點C重合.

考點：二次函數(shù)的綜合題

點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．