Question

在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn)．
（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
溫馨提示：如圖，可以作點(diǎn)D關(guān)于上軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′與x軸交于點(diǎn)E，此時(shí)△CDE的周長(zhǎng)是最小的，這樣，你只需求出直線CD′關(guān)系式，就可以確定點(diǎn)E的坐標(biāo)了．
（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′與x軸交于點(diǎn)E．
∵OB=4，OA=3，D是OB的中點(diǎn)，
∴OD=2，則D的坐標(biāo)是（0，2），C的坐標(biāo)是（3，4）．
∴D′的坐標(biāo)是（0，-2）．
設(shè)直線CD′的解析式是：y=kx+b（k≠0）．
則．
解得：
則直線的解析式是：y=2x-2．
在解析式中，令y=0，得到2x-2=0，
解得x=1．
則E的坐標(biāo)為（1，0）；

（2）作出D的對(duì)稱點(diǎn)D′，把D′向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度到M，則連接CM，與x軸的交點(diǎn)就是F，F(xiàn)點(diǎn)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度就是E．
∵D′的坐標(biāo)是（0，-2），
∴M的坐標(biāo)是（2，-2）．
設(shè)直線CM的解析式是：y=kx+b（k≠0）．
則
解得：
則直線的解析式是：y=6x-14．
在y=6x-14中，令y=0，
解得x=．
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，0）．
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）．
分析：（1）用待定系數(shù)法，求出直線CD′的解析式，然后求得與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）作出D的對(duì)稱點(diǎn)D′，把D′向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度到M，則連接CM，與x軸的交點(diǎn)就是F，F(xiàn)點(diǎn)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度就是E．用待定系數(shù)法求得直線CM的解析式，與x軸的交點(diǎn)就是F，進(jìn)而即可求得E的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了路線最短問(wèn)題，以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正確作出E、F的位置是解題的關(guān)鍵．