Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)P沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿y軸正方向以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交直線y=x+2、y=-x+1于C、D兩點(diǎn)．分別以O(shè)Q、CD為邊向右作正方形OQAB和正方形CDEF．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，正方形OQAB與正方形CDEF的面積相等．
（2）設(shè)正方形OQAB與正方形CDEF的重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）運(yùn)動(dòng)過程中，使△AEF為等腰三角形的不同t值有

4

個(gè)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，0）．根據(jù)正方形OQAB與正方形CDEF的面積相等時(shí)CD=OQ，依此得到關(guān)于t的方程，解方程即可求解；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段AQ上時(shí)，求得t=

1

4

．再分①當(dāng)0＜t≤

1

4

時(shí)；②當(dāng)

1

4

＜t≤1時(shí)；③當(dāng)t＞1時(shí)；三種情況討論可得S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）△AEF為等腰三角形，則AE=AF或AE=EF或AF=EF，依此可得使△AEF為等腰三角形的不同t值，從而求解．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，0）．
當(dāng)x_C=t時(shí)，y_C=-t+1，
當(dāng)x_D=t時(shí)，y_D=t+2，
∴CD=y_D-y_C=（t+2）-（-t+1）=2t+1，
∵OQ=3t
∴當(dāng)正方形OQAB與正方形CDEF的面積相等時(shí)，CD=OQ
∴2t+1=3t，
解得t=1；
      
（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段AQ上時(shí)，y_Q=3t，y_C=-t+1，
∴3t=-t+1
解得t=

1

4

．
①當(dāng)0＜t≤

1

4

時(shí)，S=0；
②當(dāng)

1

4

＜t≤1時(shí)，S=[（2t+1）-（t+2-3t）]（3t-t）=8t²-2t；
③當(dāng)t＞1時(shí)，S=（t+2）（3t-t）=2t²+4t．

（3）t有4個(gè)值，分別為

1

2

、

1

3

、

3+ 6

6

、

3- 6

6

．
設(shè)t秒的時(shí)候P的坐標(biāo)為（a，0），那么可以得出Q（0，3a）．
那么A點(diǎn)坐標(biāo)為（3a，3a）．
把P點(diǎn)橫坐標(biāo)代入y=-x+1，y=x+2，
則C，D點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（a，-a+1）（a，a+2）
正方形CDEF邊長CD為2a+1，
那么DE=EF=CD=2a+1．
則E，F(xiàn)點(diǎn)橫坐標(biāo)分別是a+2a+1=3a+1，
則E（3a+1，a+2），F(xiàn)（3a+1，-a+1）
△AEF為等腰三角形，則AE=AF或AE=EF或AF=EF
AE=AF，即AE²=AF²，
由勾股定理可得
1²+（2a-2）²=1²+（4a-1）²且a＞0
解得a=

1

2

，
同理可得a=

1

3

，a=

3+ 6

6

，a=

3- 6

6

．
綜上所述t=a=

1

2

或

1

3

或

3+ 6

6

或

3- 6

6

，共4個(gè)．
故答案為：4．

點(diǎn)評：此題主要考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)問題，其中應(yīng)用到了等腰三角形的性質(zhì)、正方形及勾股定理的性質(zhì)，分類思想的運(yùn)用，鍛煉了學(xué)生運(yùn)用綜合知識解答題目的能力．