Question

如圖，梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB=7，CD=4，AD=4，動點P從點A以每秒1個單位的速度向點B運動，動點Q以每秒2個單位的速度由點B經(jīng)點C向點D運動，當有一個點到達目標時，即停止運動．設運動時間為x秒，△BPQ的面積為y．
（1）求y與x的函數(shù)關系式，并指出x的取值范圍；
（1）當x為何值時，y的值最大；
（2）是否存在點P，使得△BPQ為直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）過C作CF⊥AB于F，推出四邊形ADCF是矩形，得出DC=AF=4，AD=CF=4，求出BF=3，由勾股定理得求出BC=5，求出sinB=

4

5

，cosB=

3

5

，①當P在AB上，Q在BC上時，此時0＜x≤

5

2

，過Q作QE⊥AB于E，得出AP=x，BQ=2x，BP=7-x，根據(jù)sinB即可求出QE=

8

5

x，代入三角形的面積公式求出即可；②當P在AB上，Q在DC上時，此時

5

2

＜x≤

9

5

，代入三角形的面積公式求出即可；
（2）求出每個函數(shù)式的最值即可；
（3）分為兩種情況：①當P在AB上，Q在BC上時，此時只能是Q為直角頂點，根據(jù)cosB=

BQ

BP

=

3

5

，代入即可求出x；②當P在AB上，Q在CD上時，此時

5

2

≤x≤

9

2

，此時只能P為直角頂點，在Rt△BFC中，根據(jù)勾股定理得出5²=4²+（12-3x）²，求出x=3的值即可．

解答：（1）解：過C作CF⊥AB于F，
∵梯形ABCD中，∠DAB=90°，
∴∠D=∠A=∠CFA=90°，
∴四邊形ADCF是矩形，
∴DC=AF=4，AD=CF=4，
∴BF=7-4=3，
在Rt△CFB中，由勾股定理得：BC=5，
即sinB=

CF

BC

=

4

5

，cosB=

BF

BC

=

3

5

，
①當P在AB上，Q在BC上時，此時0＜x≤

5

2

，
過Q作QE⊥AB于E，
∵AP=x，BQ=2x，BP=7-x，
∴sinB=

QE

BQ

=

4

5

，
∴QE=

8

5

x，
由三角形的面積公式得：y=

1

2

×BP×QE=

1

2

×（7-x）×

8t

5

=-

4

5

x²+

28

5

x；
②當P在AB上，Q在DC上時，此時

5

2

＜x≤

9

5

（4+5=9），
則y=

1

2

BP×CF=

1

2

×（7-x）×4=-2x+14；
綜合上述：y與x的關系式是：y=

- 4 5 x2+ 28 5 x(0＜x≤ 5 2 ) -2x+14( 5 2 ＜x≤ 9 2 )

．

（2）解：∵y=-

4

5

x²+

28

5

x=-

4

5

(x-

7

2

)2+

49

5

，
又∵0＜x≤

5

2

，
∴拋物線的開口向下，對稱軸是直線x=

7

2

，
∴當x=

5

2

時，y的值最大；
∵y═-2x+14（

5

2

≤x≤

9

2

），
根據(jù)k=-2＜0知：y隨x的增大而減小，即要使y最大，必須x最小，即x取

5

2

時y最大；
綜合上述：當x=

5

2

時，y的值最大．

（3）解：
分為兩種情況：①當P在AB上，Q在BC上時，此時0＜x≤

5

2

，P在AF內，即只能是Q為直角頂點，
cosB=

BQ

BP

=

3

5

，
即

2x

7-x

=

3

5

，
x=

21

13

；
②當P在AB上，Q在CD上時，此時

5

2

≤x≤

9

2

，
此時只能P為直角頂點，CQ=2x-5=PF，BP=7-x，
則BF=（7-x）-（2x-5）=12-3x，
在Rt△BFC中，由勾股定理得：5²=4²+（12-3x）²，
解得：x=3，x=5（5＞

9

2

舍去），
綜合上述：存在點P，使得△BPQ為直角三角形，x的值是

21

13

或3．

點評：本題綜合考查了梯形的性質，矩形的性質和判定，勾股定理，二次函數(shù)的最值，三角形的面積等知識點的應用，主要考查學生運用性質進行推理的能力，題目具有一定的代表性，但是難度偏大，注意：一定要進行分類討論．