Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BD為AC的中線，過點C作CE⊥BD于點E，過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F，在AF的延長線上截取FG=BD，連接BG、DF．請解答以下兩個問題．
（1）試判斷四邊形BDFG是什么特殊的平行四邊形？請說明理由．
（2）如果AF=8，CF=6，求四邊形BDFG的面積．

Answer 1

考點：菱形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）首先可判斷四邊形BDFG是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得BD=FD，則可判斷四邊形BDFG是菱形；
（2）首先過點B作BH⊥AG于點H，由AF=8，CF=6，可利用勾股定理求得AC的長，即可求得DF的長，然后由菱形的性質(zhì)求得BG=GF=DF=5，又由∠G=30°，即可求得BH的長，繼而求得四邊形BDFG的面積．

解答：解：（1）四邊形BDFG是菱形．
理由：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四邊形BGFD是平行四邊形，
∵CE⊥BD，
∴CE⊥AG，
又∵BD為AC的中線，
∴BD=DF=

1

2

AC，
∴四邊形BDFG是菱形，

（2）過點B作BH⊥AG于點H，
∵AF=8，CF=6，CF⊥AG，
∴AC=

CF2+AF2

=10，
∴DF=

1

2

AC=5，
∵四邊形BDFG是菱形，
∴BD=GF=DF=5，
∴BH=

1

2

CF=3，
∴S_菱形BDFG=GF•BH=15．

點評：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．