Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點O，BE∥AC交DC的延長線于點E.

（1）求證：BD=BE；

（2）若ÐDBC=30°，BO=4，求四邊形ABED的面積.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD，

∵BE∥AC，∴四邊形ABEC是平行四邊形。

∴AC=BE�！郆D=BE。

（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8。

∵∠DBC=30°，∴CD=BD=×8=4，BC=BD·cos∠DBC=8×。

∵BD=BE，BC⊥DE，∴CE=CD=4，∴DE=8

∴四邊形ABED的面積=（AB+DE）·BC=×（4+8）×。

【解析】矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。

【分析】（1）根據(jù)矩形的對角線相等可得AC=BD，然后證明四邊形ABEC是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得AC=BE，從而得證。

（2）根據(jù)矩形的對角線互相平分求出BD的長度，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CD的長度，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BC的長（或用勾股定理求），并根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出DE的長，最后利用梯形的面積公式列式計算即可得解。