Question

二次函數(shù)y=-x²+Ax+B的圖象與x軸交于A（-

1

2

，0）、B（2，0），且與y軸交于C．
（1）求函數(shù)解析式，判斷△ABC形狀；
（2）設(shè)P是x軸上方拋物線上動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足是M，是否存在P，使的以P，A，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，求出A和B的值，求出解析式和點(diǎn)C坐標(biāo)，求出AB、BC、AC的長度，判斷△ABC的形狀；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，分別表示出PM、AM的長度，根據(jù)三角形的相似可得：AC：BC=PM：AM，代入求出m的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得，

- 1 4 - 1 2 A+B=0 -4+2A+B=0

，
解得：

A= 3 2 B=1

，
則函數(shù)解析式為：y=-x²+

3

2

x+1，
則點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，1），
則AC²=1+

1

4

=

5

4

，BC²=1+4=5，
AB²=（

1

2

+2）²=

25

4

，
∵AC²+BC²=

5

4

+5=

25

4

=AB²，
∴△ABC為直角三角形；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
則點(diǎn)P縱坐標(biāo)為：-m²+

3

2

m+1，
則PM=-m²+

3

2

m+1，AM=m+

1

2

，
當(dāng)△PAM∽△ABC時(shí)，
則有AC：BC=PM：AM，
即

5 4

5

=

-m2+ 3 2 m+1

m+ 1 2

，
m+

1

2

=2（-m²+

3

2

m+1），
解得：m₁=-

1

2

，m₂=

3

2

，
當(dāng)m=-

1

2

時(shí)，縱坐標(biāo)為0，與點(diǎn)A重合，舍去，
當(dāng)m=

3

2

時(shí)，縱坐標(biāo)為1；
當(dāng)△APM∽△ABC時(shí)，
有AC：BC=AM：PM，
即

1

2

=

m+ 1 2

-m2+ 3 2 m+1

，
解得：m=0或m=-

1

2

（舍去），
當(dāng)橫坐標(biāo)為0時(shí)，縱坐標(biāo)為1，
綜上所述，符合題意得點(diǎn)P坐標(biāo)為（

3

2

，1），（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)等方面知識(shí)，涉及考點(diǎn)較多，難度較大，分情況討論直角三角形相似的兩種情況是解答本題的易錯(cuò)點(diǎn)．