Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以點(diǎn)A（0，-3）為圓心，5為半徑作圓A，交x軸于B、C兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)．

（1）如果一個二次函數(shù)圖象經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)，求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0）(m>5),過點(diǎn)P作x軸交（1）中的拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形與相似時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）利用垂徑定理求得線段OB和OC的長，從而求得B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式即可；

（2）作出圖形利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出有關(guān)未知數(shù)m的方程求解即可．

（1）連接AC，

∵以點(diǎn)A（0，-3）為圓心，5為半徑作圓A，交x軸于B、C兩點(diǎn)，交y軸于D、E兩點(diǎn)．

∴AC=5、AO=3，

∴由勾股定理得：OC=OB=4

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．

∵對稱軸為y軸，

∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+c

∴經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為；

（2）∵P的坐標(biāo)為（m，0）（m＞5），

∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，）

∴PC=m-4，PQ=

∵以O(shè)、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△PCQ相似，

①當(dāng)△ODC∽△PCQ時，

解得：m=12或m=4（因m＞5，故舍去）

②當(dāng)△OCD∽△PCQ時，

解得：m=0或4（因m＞5，故舍去）

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（12，0）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)解析式的確定及垂徑定理的應(yīng)用

點(diǎn)評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，題目比較典型．