Question

已知反比例函數(shù)圖象過第二象限內(nèi)的點(diǎn)A（-2，m）AB⊥x軸于B，Rt△AOB面積為3，若直線y=ax+b經(jīng)過點(diǎn)A，并且經(jīng)過反比例函數(shù)的圖象上另一點(diǎn)C（n，-），
（1）反比例函數(shù)的解析式為______，m=______，n=______；
（2）求直線y=ax+b的解析式；
（3）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAO為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：
（1）在Rt△OAB中，OB=2，S_△OAB=3，
∴AB=3，
即A（-2，3），
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-，
∴C（4，-），

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則有：
，
解得：，
∴y=-x+；

（3）∵A（-2，3），
∴OA=，
當(dāng)OP=0A時(shí)，可得P₁（0，）；P₂（0，-）；
當(dāng)OA=AP時(shí)，P₃（0，6）；
當(dāng)OP=AP時(shí)，可得P₄（0，）；
答：存在點(diǎn)P使△PAO為等腰三角形；點(diǎn)P坐標(biāo)分別為：
P₁（0，）；P₂（0，-）；P₃（0，6）；P₄（0，）．
分析：（1）根據(jù)△AOB的面積求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)確定出反比例函數(shù)的解析式．進(jìn)而求得C點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)C、A的坐標(biāo)即可求得直線AC的解析式；
（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則由已知條件求出k，b的值，即可得問題答案；
（3）以O(shè)為圓心，OA為半徑，交坐標(biāo)軸于四點(diǎn)，這四點(diǎn)均符合點(diǎn)P的要求．以A為圓心，AO為半徑，交坐標(biāo)軸于兩點(diǎn)，作AO的垂直平分線，交坐標(biāo)軸于兩點(diǎn)，因此共有8個(gè)符合要求的點(diǎn)．再找到在y軸上的點(diǎn)即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、等腰三角形的判定等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問題的能力．要注意（3）在不確定等腰三角形的腰和底的情況下要考慮到所有的情況，不要漏解．