(2010•惠安縣質(zhì)檢)如圖,拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點.
(1)求拋物線的頂點坐標;
(2)設(shè)直線y=-x+3與y軸的交點是D,在線段BD上任取一點E(不與B,D重合),經(jīng)過A,B,E三點的圓交直線BC于點F,試判斷△AEF的形狀,并說明理由.

【答案】分析:(1)用配方法將拋物線的解析式化為頂點坐標式,即可得到拋物線的頂點坐標.
(2)根據(jù)拋物線和已知直線的解析式,易求得A、B、C、D四點的坐標,即可得到∠OBD、∠OBC的度數(shù);在過A、E、F三點的圓中,由圓周角定理知:∠AEF=∠OBC,∠AFE=∠OBE,即可得到∠AEF、∠AFE的度數(shù),然后根據(jù)這兩個角的度數(shù)來判斷△AEF的形狀.
解答:解:(1)y=x2-2x-3
=x2-2x+1-1-3
=(x-1)2-4;
∴拋物線的頂點坐標為(1,-4).

(2)由拋物線y=x2-2x-3和直線y=-x+3可求得:
A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、D(0,3),
∴OB=OC=OD=3,
∴∠OBD=∠OBC=45°;
又∵∠OBD=∠AFE,∠OBC=∠AEF(在同圓中,同弧所對的圓周角相等),
∴∠AFE=∠AEF=45°,
∴∠EAF=90°,AE=AF;
∴△AEF是等腰直角三角形.
點評:此題考查了函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標的求法、圓周角定理、等腰直角三角形的判定等知識,在解題過程中,要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,難度中上.
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月用水量(m3711151719
戶數(shù)34643
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