Question

【題目】已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，試回答下列問題：
（1）如圖①，求證：OB∥AC．
（2）如圖②，若點(diǎn)E、F在線段BC上，且滿足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．則∠EOC的度數(shù)等于；（在橫線上填上答案即可）．
（3）在（2）的條件下，若平行移動AC，如圖③，那么∠OCB：∠OFB的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，試說明理由；若不變，求出這個(gè)比值．
（4）在（3）的條件下，如果平行移動AC的過程中，若使∠OEB=∠OCA，求∠OCA度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BC∥OA，

∴∠B+∠O=180°，

∴∠O=180°﹣∠B=80°，

而∠A=100°，

∴∠A+∠O=180°，

∴OB∥AC

（2）解：∵OE平分∠BOF， ∴∠BOE=∠FOE，
而∠FOC=∠AOC，
∴∠EOF+∠COF= ∠AOB= ×80°=40°，
故答案為40°
（3）解：不改變．

∵BC∥OA，

∴∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，

∵∠FOC=∠AOC，

∴∠AOF=2∠AOC，

∴∠OFB=2∠OCB，

即∠OCB：∠OFB的值為1：2

（4）解：設(shè)∠AOC的度數(shù)為x，則∠OFB=2x，

∵∠OEB=∠AOE，

∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=40°+x，

而∠OCA=180°﹣∠AOC﹣∠A=180°﹣x﹣100°=80°﹣x，

∵∠OEB=∠OCA，

∴40°+x=80°﹣x，解得x=20°，

∴∠OCA=80°﹣x=80°﹣20°=60°

【解析】（1）由BC∥OA得∠B+∠O=180°，所以∠O=180°﹣∠B=80°，則∠A+∠O=180°，根據(jù)平行線的判定即可得到OB∥AC；（2）由OE平分∠BOF得到∠BOE=∠FOE，加上∠FOC=∠AOC，所以∠EOF+∠COF= ∠AOB=40°；（3）由BC∥OA得到OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，加上∠FOC=∠AOC，則∠AOF=2∠AOC，所以∠OFB=2∠OCB；（4）設(shè)∠AOC的度數(shù)為x，則∠OFB=2x，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠OEB=∠AOE，則∠OEB=∠EOC+∠AOC=40°+x，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠OCA=180°﹣∠AOC﹣∠A=80°﹣x，利用∠OEB=∠OCA得到40°+x=80°﹣x，解得x=20°，所以∠OCA=80°﹣x=60°．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)和平移的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)；①經(jīng)過平移之后的圖形與原來的圖形的對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，對應(yīng)角相等，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化；②經(jīng)過平移后，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在同一直線上）且相等才能正確解答此題．