Question

如圖1至圖4，⊙O均作無滑動(dòng)滾動(dòng)，⊙O₁、⊙O₂均表示⊙O與線段AB、BC或弧AB相切于端點(diǎn)時(shí)刻的位置，⊙O的周長為c，請(qǐng)閱讀下列材料：


①如圖1，⊙O從⊙O₁的位置出發(fā)，沿AB滾動(dòng)到⊙O₂的位置，當(dāng)AB=c時(shí)，⊙O恰好自轉(zhuǎn)1周．
②如圖2，∠ABC相鄰的補(bǔ)角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滾動(dòng)，在點(diǎn)B處，必須由⊙O₁的位置轉(zhuǎn)到⊙O₂的位置，⊙O繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的角∠O₁BO₂=n°，⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)

n

360

周．
解答以下問題：
（1）在閱讀材料的①中，若AB=2c，則⊙O自轉(zhuǎn)

 

周；若AB=l，則⊙O自轉(zhuǎn)

 

周．在閱讀材料的②中，若∠ABC=120°，則⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)

 

周；若∠ABC=60°，則⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)

 

周．
（2）如圖3，△ABC的周長為l，⊙O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在△ABC外部，按順時(shí)針方向沿三角形滾動(dòng)，又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置，⊙O自轉(zhuǎn)多少周？
（3）如圖4，半徑為2的⊙O從半徑為18，圓心角為120°的弧的一個(gè)端點(diǎn)A（切點(diǎn)）開始先在外側(cè)滾動(dòng)到另一個(gè)端點(diǎn)B（切點(diǎn)），再旋轉(zhuǎn)到內(nèi)側(cè)繼續(xù)滾動(dòng)，最后轉(zhuǎn)回到初始位置，⊙O自轉(zhuǎn)多少周？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,弧長的計(jì)算

專題：閱讀型

分析：（1）根據(jù)閱讀材料就可解決問題．
（2）可先分別求出⊙O在三邊上自轉(zhuǎn)的周數(shù)、在三個(gè)頂點(diǎn)處自轉(zhuǎn)的周數(shù)，就可求出總的自轉(zhuǎn)周數(shù)．
（3）由閱讀材料①和②可得⊙O自轉(zhuǎn)的周數(shù)實(shí)質(zhì)上是圓心O運(yùn)動(dòng)的路徑長與圓O的周長的比值，從而可以求出⊙O在

AB

的外側(cè)、內(nèi)側(cè)自轉(zhuǎn)的周數(shù)；由閱讀材料②可求出⊙O在點(diǎn)B、點(diǎn)A處自轉(zhuǎn)的周數(shù)，就可求出總的自轉(zhuǎn)周數(shù)．

解答：解：（1）由閱讀材料①可知：若AB=2c，則⊙O自轉(zhuǎn)周數(shù)=

2c

c

=2（周）；
若AB=l，則⊙O自轉(zhuǎn)周數(shù)為

l

c

（周）．
由閱讀材料②可知：若∠ABC=120°，則⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)周數(shù)=

180-120

360

=

1

6

（周）；
若∠ABC=60°，則⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)周數(shù)=

180-60

360

=

1

3

（周）．
故答案分別為：2、

l

c

、

1

6

、

1

3

．

（2）由閱讀材料①可知：⊙O在三邊上自轉(zhuǎn)的周數(shù)=

DB

c

+

BC

c

+

CA

c

+

AD

c

=

l

c

；
由閱讀材料②可知：⊙O在三個(gè)頂點(diǎn)處自轉(zhuǎn)的周數(shù)=

180-∠ABC

360

+

180-∠BCA

360

+

180-∠CAB

360

=

540-180

360

=1（周）．
所以⊙O共自轉(zhuǎn)了（

l

c

+1）周．

（3）由閱讀材料①和②可得：⊙O自轉(zhuǎn)的周數(shù)實(shí)質(zhì)上是圓心O運(yùn)動(dòng)的路徑長與圓O的周長的比值．
則⊙O在

AB

外側(cè)滾動(dòng)的周數(shù)=

點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑長

圓O的周長

=

120π×(18+2) 180

2π×2

=

10

3

（周），
⊙O在

AB

內(nèi)側(cè)滾動(dòng)的周數(shù)=

點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑長

圓O的周長

=

120π(18-2) 180

2π×2

=

8

3

（周）；
由閱讀材料②可知：⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)周數(shù)=

180

360

=

1

2

（周），⊙O在點(diǎn)A處自轉(zhuǎn)周數(shù)=

180

360

=

1

2

（周），
所以⊙O共自轉(zhuǎn)（

10

3

+

8

3

+

1

2

+

1

2

）周，即7周．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查閱讀理解能力，需要注意的是⊙O在圓弧

AB

外側(cè)滾動(dòng)，與在和該圓弧等長的線段上滾動(dòng)不同．由于點(diǎn)O從A到B旋轉(zhuǎn)了120°，因此多自轉(zhuǎn)了

120

360

周，即

1

3

周，所以⊙O在圓弧

AB

外側(cè)滾動(dòng)自轉(zhuǎn)的周數(shù)還可以表示為（

弧AB的長度

圓O的周長

+

1

3

）周，即（

120π×18 180

2π×2

+

1

3

）周，也即

10

3

周．