Question

若正三角形的邊長為1，在其外接圓半徑為

 

，內切圓半徑為

 

．

Answer 1

考點：三角形的內切圓與內心,等邊三角形的性質,三角形的外接圓與外心

專題：

分析：根據O為等邊△ABC的內心（也是等邊△AB的外心），連接OA、OC、OB，設AO交BC于D，則AD⊥BC，BD=DC，即OB是△ABC外接圓的半徑，OD是△ABC內切圓的半徑，求出BD=DC=

1

2

，求出∠OBD=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°，在Rt△OBD中，求出OD=BD•tan30°=

3

6

，根據OB=2OD求出OB即可．

解答：解：設O為等邊△ABC的內心（也是等邊△AB的外心），連接OA、OC、OB，設AO交BC于D，
則AD⊥BC，BD=DC，
即OB是△ABC外接圓的半徑，OD是△ABC內切圓的半徑，
∵BC=1，
∴BD=DC=

1

2

，
∵O為等邊△ABC內切圓的圓心，
∴∠OBD=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°，
在Rt△OBD中，OD=BD•tan30°=

1

2

×

3

3

=

3

6

；
∴OB=2OD=

3

3

，
∴正三角形的內切圓半徑是

3

6

，外接圓半徑是

3

3

．
故答案為：

3

3

，

3

6

．

點評：本題考查了等邊三角形性質，三角形的內切圓、外接圓、含30度角的直角三角形性質，勾股定理的應用等知識，得出正三角形內外心的關系是解題關鍵．