Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠BCD=60°，AD=CD．
（1）如圖1，連接AC，求證：AC是∠BCD的角平分線；
（2）線段BC上一點E，將△ABE沿AE翻折，點B落到點F處，射線EF與線段CD交于點M．
①如圖2，當(dāng)點M與點D重合時，求證：FM=

3

3

AB；
②如圖3，當(dāng)點M不與點D重合時，求證：FM-DM=

3

3

AB．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）連接AC，根據(jù)AD=CD，得出∠1=∠3，根據(jù)AD∥BC，得出∠1=∠2，進而得出答案；
（2）①過點D作DN⊥BC于點N，首先證明Rt△AFD≌Rt△DNC進而得出∠DAF=30°，即可得出答案；
②利用過點A作AG⊥CD，交CD的延長線于點G，連接AM，進而利用HL定理得出Rt△AMG≌Rt△AMF，即可得出答案．

解答：（1）證明：連接AC，
∵AD=CD，
∴∠1=∠3，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴AC是∠BCD的角平分線；

（2）解：①過點D作DN⊥BC于點N，
由題意可得出：AB=DN，
∵將△ABE沿AE翻折，點B落到點F處，
∴∠B=∠AFE，AB=AF，
∴AF=DN，
在Rt△AFD和Rt△DNC中，

AD=CD AF=DN

，
∴Rt△AFD≌Rt△DNC（HL），
∴∠1=∠C=60°，
∴∠DAF=30°，
∴

DF

AF

=tan30°=

3

3

，
∴FM=

3

3

AF，
∴FM=

3

3

AB；

②過點A作AG⊥CD，交CD的延長線于點G，連接AM
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC
∴∠ACB=∠ACD，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

AF=AG AM=AM

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM一DM=GD，
∵∠ADG=∠BCD=60°
∴DG=

3

3

AG，
∴FM-DM=

3

3

AB．

點評：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識，根據(jù)已知得出全等三角形進而得出對應(yīng)角對應(yīng)邊的關(guān)系是解題關(guān)鍵．