Question

如圖（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O
（a）若∠A=60°，求∠BOC的度數(shù)；
（b）若∠A=n°，則∠BOC=

 

；
（c）若∠BOC=3∠A，則∠A=

 

；
（2）如圖（2），在△A′B′C′中的外角平分線相交于點O′，∠A′=40°，求∠B′O′C′的度數(shù)；
（3）上面（1），（2）兩題中的∠BOC與∠B′O′C′有怎樣的數(shù)量關系？

Answer 1

考點：三角形內角和定理

專題：

分析：（1）（a）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，然后求出∠1+∠2的值，再根據(jù)三角形的內角和等于180°可得出結論；
（b）同（a）的證明過程；
（c）根據(jù)角平分線的定義用∠A表示出∠1+∠2的值，再由∠BOC=3∠A即可得出結論；
（2）先求出∠A的外角的度數(shù)，由三角形的外角和等于360°及角平分線的性質得出∠1+∠2的度數(shù)，再由三角形內角和定理即可得出結論；
（3）根據(jù)（1）（2）中∠BOC與∠B′O′C′的關系可得出結論．

解答： 解：（1）（a）∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，
∴∠1+∠2=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

×（180°-60°）=60°，
∴∠BOC=180°-60°=120°；
（b））∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，
∴∠1+∠2=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

×（180°-n°）=90°-

1

2

n°，
∴∠BOC=180°-（90°-

1

2

n°）=90°+

1

2

n°．
故答案為：90°+

1

2

n°；
（c）∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，∠BOC=3∠A，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，
∴∠1+∠2=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，
∴90°-

1

2

∠A+3∠A=180°，解得∠A=36°
故答案為：36°；

（2）∵∠A=40°，
∴∠A的外角等于180°-40°=140°，
∵△A′B′C′另外的兩外角平分線相交于點O′，三角形的外角和等于360°，
∴∠1+∠2=

1

2

×（360°-140°）=110°，
∴∠B′O′C′=180°-110°=70°；

（3）∵由（1）知，∠BOC=

180°+∠A

2

，
由（2）知，∠B′O′C′=180°-

180°+∠A

2

，
∴∠B′O′C′=180°-∠BOC．

點評：本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180°是解答此題的關鍵．