Question

（2006•張家界）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點A（-2，0），B（，0），CB所在直線為y=2x+b，
（1）求b與C的坐標(biāo)；
（2）連接AC，求證：△AOC∽△COB；
（3）求過A，B，C三點且對稱軸平行于y軸的拋物線解析式；
（4）在拋物線上是否存在一點P（不與C重合），使得S_△ABP=S_△ABC？若存在，請求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將B的坐標(biāo)代入CB的解析式可得b的值，進(jìn)而可得C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)BC的坐標(biāo)，易得△AOC與△COD中，對應(yīng)邊的比值相等，再根據(jù)OC⊥AB，易得兩個三角形相似；（3）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，以三點的坐標(biāo)代入解析式得方程組，解可得abc的值，即可得拋物線的解析式；
（4）假設(shè)存在并設(shè)出其坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積相等易得|y|=|OC|=1，分y的值為1與-1兩種情況討論，進(jìn)而可得答案．
解答：解：（1）以B（，0）代入y=2x+b，2×+b=0，（2分）
得：b=-1則有C（0，-1）．（3分）

（2）∵OC⊥AB，且，（5分）
∴△AOC∽△COB．（6分）

（3）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，以三點的坐標(biāo)代入解析式得方程組：
，（8分）
所以y=x²+x-1．（9分）

（4）假設(shè)存在點P（x，y）
依題意有，
得：|y|=|OC|=1．（10分）
①當(dāng)y=1時，有x²+x-1=1
即x²+x-2=0，
解得：，（11分）
②當(dāng)y=-1時，有x²+x-1=-1，
即x²+x=0，
解得：x₃=0（舍去），．
∴存在滿足條件的點P，它的坐標(biāo)為：．（12分）
點評：[點評]此題綜合性較強(qiáng)，4個小題的坡度設(shè)置較好，區(qū)分度也把握地很好，是道考查學(xué)生初中三年學(xué)習(xí)成果的好題，第4小題中不要忘了絕對值，否則會導(dǎo)致少解．