Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三點(diǎn)．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出拋物線的表達(dá)式為y=ax²+bx+c，由于拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三點(diǎn)，把三點(diǎn)代入表達(dá)式，聯(lián)立解方程組，求出a、b、c．
（2）要分類討論AB是邊還是對(duì)角線兩種情況，AB為邊時(shí)，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)該拋物線的表達(dá)式為y=ax²+bx+c根據(jù)題意，
得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-1

，
解之得

a= 1 3 b=- 2 3 c=-1

，
∴所求拋物線的表達(dá)式為y=

1

3

x²-

2

3

x-1．

（2）①AB為邊時(shí)，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可．
又知點(diǎn)Q在y軸上，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或-4，這時(shí)符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別記為P₁，P₂．
而當(dāng)x=4時(shí)，y=

5

3

；
當(dāng)x=-4時(shí)，y=7，
此時(shí)P₁（4，

5

3

）、P₂（-4，7）．
②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，
又知點(diǎn)Q在y軸上，Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，這時(shí)符合條件的P只有一個(gè)記為P₃．
而且當(dāng)x=2時(shí)y=-1，此時(shí)P₃（2，-1），
綜上，滿足條件的P為P₁（4，

5

3

）、P₂（-4，7）、P₃（2，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定，分類討論的思想，此題不是很難，但是做題時(shí)要考慮周全．