Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，3）、（-3，0）、（0，-3），點(diǎn)M為AB上一點(diǎn)，AM：BM=2：1，∠EMF在AB的下方以M為中心旋轉(zhuǎn)且∠EMF=45°，ME交y軸于點(diǎn)P，MF交x軸于點(diǎn)Q．試回答下列問(wèn)題：
（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)為

（1，2）

；
（2）設(shè)AQ的長(zhǎng)為y，BP的長(zhǎng)為x．求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)P為OB的中點(diǎn)時(shí)，求四邊形OQMP的面積；
（4）若以B、P、M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

（-1，0）或（1，0）或（3-2

2

，0）

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)可以求出OC、OB、OA、OF的長(zhǎng)，從而求出AB的長(zhǎng)，作MG⊥AC于G，由相似三角形的性質(zhì)求出MG的長(zhǎng)，從而可以求出M的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)條件可以求出BM、AM的值以及△BMP∽△AQM，利用相似三角形的性質(zhì)就可以表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)P為OB的中點(diǎn)時(shí)，就可以求出BP的值，再代入（2）的函數(shù)解析式就可以求出AQ的值，作MH⊥BD于H，MS⊥AC于S，由勾股定理可以求得MH、MS的值，用△AOB的面積-△AMQ的面積-△BPM的面積就可以求出四邊形OQMP的面積．
（4）當(dāng)BP=MP時(shí)，知道∠1=∠2=45°，由勾股定理求得BP=PM的值，代入（2）的解析式就可以AQ的值，從而求出Q的坐標(biāo)，當(dāng)BM=MP時(shí)，當(dāng)BP=BM時(shí)，類似的方法可以求出PQ的值，從而求出Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，3）、（-3，0）、（0，-3），
∴OA=OB=OC=OD=3，在Rt△AOB中由勾股定理，得
AB=3

2

．
∵AM：BM=2：1
∴AM=2

2

，
∴BM=

2

作MG⊥AC于點(diǎn)G，
∴MG∥BD，
∴△AMG∽△ABO，
∴

AM

AB

=

MG

BO

，
∴

2 2

3 2

=

MG

3

，
∴MG=2，
∴AG=2，
∴OG=1，
∴M（1，2）

（2）∵四邊形ABCD是正方形，且AC、BD是對(duì)角線，
∴∠1=∠5=45°，
∴∠3+∠4=135°，
∵∠EMF=45°，
∴∠2+∠4=135°，
∴∠2=∠3，有∠1=∠5，
∴△BMP∽△AQM，
∴

BM

AQ

=

BP

AM

，
∴

2

y

=

x

2 2

，
解得：y=

4

x

（3）∵P為OB的中點(diǎn)，
∴BP=

1

2

OB=

3

2

，
∴y=AQ=

4

3 2

=

8

3

．
作MH⊥BD于H，MS⊥AC于S，
由勾股定理可以求得：MH=1，MS=2
∴S_{四邊形OQMP}=

3×3

2

-

3 2 ×1

2

-

8 3 ×2

2

=

13

12

                    


（4）當(dāng)BP=MP時(shí)，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠BPM=90°且BM=

2

，由勾股定理，得
BP=PM=1
∴y=AQ=4
∴Q（-1，0）
當(dāng)BM=MP時(shí)，
∴∠1=∠BPM=45°，
∴∠2=90°，且BM=

2

，由勾股定理，得
BP=2，
∴y=AQ=2，
Q（1，0）；
當(dāng)BP=BM時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是（3-2

2

，0）．
故答案為：（-1，0）或（1，0），（3-2

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用．