Question

如圖，拋物線y=x²-3x-18與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC、AC．
（1）求AB和OC的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合），過(guò)點(diǎn)E作直l線平行BC，交AC于點(diǎn)D，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△ADE的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，連接CE，求△CDE面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）解一元二次方程求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后計(jì)算即可求出AB，再令x=0求出y的值即可得到OC的長(zhǎng)；
（2）求出△ABC的面積，再求出△AED和△ABC相似，然后利用相似三角形面積的比等于相似比列式求解即可；
（3）根據(jù)S_△CDE=S_△ACE-S_△ADE列式整理，再利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答．

解答：解：（1）令y=0，則x²-3x-18=0，
解得x₁=-3，x₂=6，
所以，點(diǎn)A（-3，0），B（6，0），
所以，AB=6-（-3）=6+3=9，
令x=0，則y=-18，
所以，OC=18；

（2）S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×9×18=81，
∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴

S△ADE

S△ABC

=（

AE

AB

）²，
∴△ADE的面積S=（

m

9

）²×81=m²，
∵點(diǎn)E在AB上，
∴0＜m＜9，
∴S=m²（0＜m＜9）；

（3）∵S_△ACE=

1

2

AE•OC=

1

2

•m•18=9m，
∴S_△CDE=S_△ACE-S_△ADE
=9m-m²
=-（m-

9

2

）²+

81

4

∴當(dāng)m=

9

2

時(shí)，△CDE面積的最大值為

81

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了一元二次方程的解法，三角形的面積，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）考慮利用相似三角形求解．