Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交與A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，交y軸于C，頂點(diǎn)為D．
（1）求如圖1該拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的面積；
（3）如圖2，若E為拋物線B、C兩點(diǎn)間圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），過(guò)E作EF與x軸垂直，交線段BC于F，設(shè)E點(diǎn)橫坐標(biāo)為x．EF的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，求L關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式？并寫出x的取值范圍？當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段EF的值最大，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，將點(diǎn)A、B代入函數(shù)解析式，列出方程組即可求得b、c的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）令x=0時(shí)，可得C的坐標(biāo)，令y=0時(shí)，可求得A，B的坐標(biāo)，再利用S_△ABC=

1

2

AB•OC即可求出答案，
（3）先求出BC的解析式，得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，由L=點(diǎn)E的縱坐標(biāo)-點(diǎn)F的縱坐標(biāo)求解可得出L關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，即可求出線段EF的最大值及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵將A（1，0），B（-3，0）代y=-x²+bx+c中得，

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

，
解得

b=-2 c=3

，
∴拋物線解析式為：y=-x²-2x+3，
∴D的坐標(biāo)為（-1，4）．
（2）∵拋物線解析式為：y=-x²-2x+3，
∴令x=0時(shí)，得y=3，即C（0，3），
令y=0時(shí)，0=-x²-2x+3，解得x₁=-3，x₂=1，即B（-3，0），A（1，0）．
∴S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×3=6，
（3）設(shè)BC的解析式為y=kx+b，
把B（-3，0），C（0，3）代入求得BC的解析式為y=x+3，
∵E點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，EF與x軸垂直，
∴E（x，-x²-2x+3），F(xiàn)（x，x+3），
∴L=-x²-2x+3-（x+3）=-x²-3x （-3＜x＜0），
∵L=-x²-3x=-（x+

3

2

）²+

9

4

，
∴線段EF的值最大是

9

4

，此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)（-

3

2

，

15

4

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)．