在正方形ABCD中，O是AD的中點，點P從A點出發(fā)沿A→B→C→D的路線勻速運動，移動到點D時停止。

（1）如圖1，若正方形的邊長為12，點P的運動速度為2單位長度/秒，設(shè)t秒時，正方形ABCD與∠POD重疊部分的面積為y。

①求當(dāng)t=4，8，14時，y的值。

②求y關(guān)于t的函數(shù)解析式。

（2）如圖2，若點Q從D出發(fā)沿D→C→B→A的路線勻速運動，移動到點A時停止。P、Q兩點同時出發(fā)，點P的速度大于點Q的速度。設(shè)t秒時，正方形ABCD與∠POD（包括邊緣及內(nèi)部）重疊部分的面積為S，S與t的函數(shù)圖像如圖3所示。

①P，Q兩點在第           秒相遇；正方形ABCD的邊長是         

②點P的速度為         單位長度/秒；點Q的速度為          

③當(dāng)t為何值時，重疊部分面積S等于9？

（1）解：在△AOC中，AC=4，

    ∵ AO＝OC＝4，

∴ △AOC是等邊三角形．………1分

∴ ∠AOC＝60°，

∴∠AEC＝30°．…………………3分

（2）證明：∵OC⊥l，BD⊥l．

∴ OC∥BD． ……………………4分

∴ ∠ABD＝∠AOC＝60°．

∵ AB為⊙O的直徑，

∴ △AEB為直角三角形，∠EAB＝30°．  …………………………7分

    ∴∠EAB＝∠AEC．

    ∴ 四邊形OBEC 為平行四邊形．  …………………………………6分

    又∵ OB＝OC＝4． 

    ∴ 四邊形OBEC是菱形．  …………………………………………7 分

如圖，⊙O的直徑AB=8，C為圓周上一點，AC=4，過點C作⊙O的切線l，過點B作l的垂線BD，垂足為D，BD與⊙O交于點 E．

 (1) 求∠AEC的度數(shù)；

（2）求證：四邊形OBEC是菱形．

證明：（1）∵ABCD是菱形

              ∴AB=AD，BC=CD,∠B=∠D  （2分）

              又  CE=CF

                 ∴BC—CE=CD—CF

                   即BE=DF              （4分）

              ∴△ABE≌△ADF

              ∴AE=AF                     （6分）

已知：如圖，菱形中，分別是上的點，且_CE=CF．

求證：．

（1）是矩形中的中點，

，

，     

，，

                   （3分）

   （2），

作于點，，

， ∽

，    

，    （3分）

（3），

     同理∽  

當(dāng)越來越大時，越來越接近于12．                   （4分）

矩形紙片中，，現(xiàn)將這張紙片按下列圖示方式折疊，是折痕．

（1）如圖1，P，Q分別為，的中點，點的對應(yīng)點在上，求和的長；

（2）如圖2，，點的對應(yīng)點在上，求的長；

（3）如圖3，，點的對應(yīng)點在上．

①直接寫出的長（用含的代數(shù)式表示）；  ②當(dāng)越來越大時，的長越來越接近于  ▲  ．

解：（1）如圖①AH=AB

（2）數(shù)量關(guān)系成立.如圖②，延長CB至E，使BE=DN

∵ABCD是正方形

∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°

∴Rt△AEB≌Rt△AND

∴AE=AN，∠EAB=∠NAD

∴∠EAM=∠NAM=45°

∵AM=AM

∴△AEM≌△ANM

∵AB、AH是△AEM和△ANM對應(yīng)邊上的高，

∴AB=AH

（3）如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，

得到△ABM和△AND

∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°

分別延長BM和DN交于點C，得正方形ABCE．

由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD.                          

  設(shè)AH=x，則MC=,  NC=                             圖②

在Rt⊿MCN中，由勾股定理，得

∴

解得.（不符合題意，舍去）

∴AH=6.

已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°, ∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，AH⊥MN于點H．

（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)

量關(guān)系：             ；

（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由．如果成立請證明；

（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點H，且MH=2，NH=3，求AH的長．

（可利用（2）得到的結(jié)論）

答案：（1）∵四邊形是正方形，∴，且   （2分）

又∵是公共邊，∴△≌△，                              （2分）

∴∠ =∠                                                 （1分）

（2）聯(lián)結(jié)                                                             （1分）

∵，

∴∠ =∠                                                 （1分）

∵∠=∠，∠ =∠，

∴∠=∠．

∵∠+∠=∠+∠，

∴∠=∠                                                   （1分）

∵四邊形是正方形，

∴∠=∠ =45°，∠=∠= 45°，

∴∠=∠                                                  （1分）

∴∠=∠．                                                 （1分）

又∵∠是公共角，∴△∽△，                           （1分）

∴，即                                        （1分）