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科目： 來源：2008年湖南省長沙市長郡中學高一自主招生數學試卷（解析版） 題型：填空題

桌面上有大小兩顆球，相互靠在一起．已知大球的半徑為20cm，小球半徑5cm，則這兩顆球分別與桌面相接觸的兩點之間的距離等于 cm．

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科目： 來源：2008年湖南省長沙市長郡中學高一自主招生數學試卷（解析版） 題型：填空題

如圖，物質A與物質B分別由點A（2，0）同時出發(fā)，沿正方形BCDE的周界做環(huán)繞運動，物質A按逆時針方向以l單位/秒等速運動，物質B按順時針方向，以2單位/秒等速運動，則兩個物質運動后的第2011次相遇地點的坐標是．

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科目： 來源：2008年湖南省長沙市長郡中學高一自主招生數學試卷（解析版） 題型：填空題

設C₁，C₂，C₃，…為一群圓，其作法如下：C₁是半徑為a的圓，在C₁的圓內作四個相等的圓C₂（如圖），每個圓C₂和圓C₁都內切，且相鄰的兩個圓C₂均外切，再在每一個圓C₂中，用同樣的方法作四個相等的圓C₃，依此類推作出C₄，C₅，C₆，…，則
（1）圓C₂的半徑長等于（用a表示）；
（2）圓C_k的半徑為（k為正整數，用a表示，不必證明）

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科目： 來源：2008年湖南省長沙市長郡中學高一自主招生數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD內接于圓O，且AD是圓O的直徑，DC與AB的延長線相交于E點，OC∥AB．
（1）求證：AD=AE；
（2）若OC=AB=4，求△BCE的面積．

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科目： 來源：2008年湖南省長沙市長郡中學高一自主招生數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知拋物線y=x²+2px+2p-2的頂點為M，
（1）求證拋物線與x軸必有兩個不同交點；
（2）設拋物線與x軸的交點分別為A，B，求實數p的值使△ABM面積達到最小．

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科目： 來源：2008年湖南省長沙市長郡中學高一自主招生數學試卷（解析版） 題型：解答題

為了迎接2002年世界杯足球賽的到來，某足球協(xié)會舉辦了一次足球聯(lián)賽，其記分規(guī)則及獎勵方案如下表

	勝一場	平一場	負一場
積分	3	1
獎勵（元/每人）	1500	700

當比賽進行到第12輪結束（每隊均需比賽12場）時，A隊共積分19分．
（1）請通過計算，判斷A隊勝、平、負各幾場；
（2）若每賽一場，每名參賽隊員均得出場費500元，設A隊其中一名參賽隊員所得的獎金與出場費的和為W（元），試求W的最大值．

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科目： 來源：2008年湖南省長沙市長郡中學高一自主招生數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知：矩形ABCD（字母順序如圖）的邊長AB=3，AD=2，將此矩形放在平面直角坐標系xOy中，使AB在x軸正半軸上，而矩形的其它兩個頂點在第一象限，且直線y=

x-1經過這兩個頂點中的一個．
（1）求出矩形的頂點A、B、C、D的坐標；
（2）以AB為直徑作⊙M，經過A、B兩點的拋物線，y=ax²+bx+c的頂點是P點．
①若點P位于⊙M外側且在矩形ABCD內部，求a的取值范圍；
②過點C作⊙M的切線交AD于F點，當PF∥AB時，試判斷拋物線與y軸的交點Q是位于直線y=