如圖所示，⊙O₁和⊙O₂內切于點A，⊙O₂的弦BC經過⊙O₁上一點D，AB、AC分別交⊙O₁于E、F，AD平分∠BAC．

(1)求證：BC是⊙O₁的切線；

(2)若⊙O₁與⊙O₂的半徑之比等于2∶3，BD=2，DF=，求AB和AD的長．

如圖所示，⊙O₁和⊙O₂外切于點A，BC是⊙O₁和⊙O₂的外公切線，B、C為切點．AT為內公切線，AT與BC相交于點T．延長BA、CA，分別與兩圓交于點E、F．

(1)求證：AB·AC＝AE·AF；

(2)若AT＝2，⊙O₁與⊙O₂的半徑之比為1∶3，求AE的長．

如圖所示，已知：A是⊙O₁、⊙O₂的一個交點，點M是O₁O₂的中點，過點A的直線BC垂直于MA，分別交⊙O₁、⊙O₂于B、C．

(1)求證：AB＝AC；

(2)若O₁A切⊙O₂于點A，弦AB、AC的弦心距分別為d₁、d₂，求證：d₁＋d₂＝O₁O₂；

(3)在(2)的條件下，若d₁d₂＝1，設⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為R、r，求證R²＋r²＝R²r²．

如圖所示，已知：⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，過B點作⊙O₁的切線交⊙O₂于D點，連結DA并延長與⊙O₁相交于C點，連結BC，過A點作AE∥BC，與⊙O₂相交于E點，與BD相交于F點．

(1)求證：EF·BC＝DE·AC；

(2)若AD=3，AC=1，AF=，求EF的長．

如圖所示，BE是⊙O的直徑，點A在EB的延長線上，弦PD⊥BE，垂足為C，連結OD，且∠AOD=∠APC．

(1)求證：AP是⊙O的切線；

(2)若OC∶CB＝1∶2，且AB=9，求⊙O的半徑及sinA的值．

如圖所示，已知△ABC內接于⊙O，AE切⊙O于點A，BC∥AE．

(1)求證：△ABC是等腰三角形；

(2)設AB=10cm，BC=8cm，點P是射線AE上的點，若以A、P、C為頂點的三角形與△ABC相似，這樣的點有幾個？并求AP的長．

如圖所示，正方形ABCD的邊長為2cm，以一邊BC為直徑在正方形內部作半圓，過點A作半圓的切線，切點為F，AF的延長線交CD于E．求：

(1)EC的長；

(2)cos∠BAE的值；

(3)S_△ADE．

如圖所示，PA、PB分別和⊙O相切于A、B，AC是⊙O的直徑，OP交AB于E，交劣弧于F，且AC＝4cm，PE＝3cm．

(1)求PA和BC的長；

(2)求證：點F是△PAB的內心．

已知Rt△ABC中，斜邊AB=4，內切圓半徑為－2．求：

(1)S_△ABC

(2)tanA＋tanB的值．

如圖所示，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線相交于D，和⊙O相交于E，AC平分∠DAB．

(1)求證：∠ADC＝；

(2)若⊙O的半徑為5，AD＝8，求AC．