已知：拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)，頂點(diǎn)C(1，－3)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A(－1，0)．

(1)求這條拋物線的解析式．

(2)如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點(diǎn)D，與拋物線對稱軸交于點(diǎn)E，依次連接A、D、B、E，點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P與A、B兩點(diǎn)不重合)，過點(diǎn)P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，請判斷是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)S是線段EP上一點(diǎn)，過點(diǎn)S作FG⊥EP，F(xiàn)G分別與邊AE、BE相交于點(diǎn)F，G(F與A、E不重合，G與E、B不重合)，請判斷是否成立．若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上運(yùn)動(dòng)，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為E，F．

(1)求梯形ABCD的面積；

(2)求四邊形MEFN面積的最大值．

(3)試判斷四邊形MEFN能否為正方形，若能，求出正方形MEFN的面積；若不能，請說明理由．

在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的動(dòng)點(diǎn)(不與A，B重合)，過M點(diǎn)作MN∥BC交AC于點(diǎn)N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN．令AM＝x．

(1)用含x的代數(shù)式表示△ＭNP的面積S；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，⊙O與直線BC相切？

(3)在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？

△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2 cm．長為1 cm的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1 cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)M與點(diǎn)A重合)．過M，N分別作AB的垂線交直角邊于P，Q兩點(diǎn)，線段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．

(1)若△AMP的面積為y，寫出y與t的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量t的取值范圍)；

(2)線段MN運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形MNQP有可能成為矩形嗎？若有可能，求出此時(shí)t的值；若不可能，說明理由；

(3)t為何值時(shí)，以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

已知拋物線y＝3ax²＋2bx＋c，

(Ⅰ)若a＝b＝1，c＝－1，求該拋物線與x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；

(Ⅱ)若a＝b＝1，且當(dāng)－1＜x＜1時(shí)，拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍；

(Ⅲ)若a＋b＋c＝0，且x₁＝0時(shí)，對應(yīng)的y₁＞0；x₂＝1時(shí)，對應(yīng)的y₂＞0，試判斷當(dāng)0＜x＜1時(shí)，拋物線與x軸是否有公共點(diǎn)？若有，請證明你的結(jié)論；若沒有，闡述理由．

已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一個(gè)圓心角為45°，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE，CF分別與直線AB交于點(diǎn)M，N．

(Ⅰ)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在∠ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖①，求證：MN²＝AM²＋BN²；

思路點(diǎn)撥：考慮MN²＝AM²＋BN²符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決．可將△ACM沿直線CE對折，得△DCM，連DN，只需證DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．

(Ⅱ)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖②的位置時(shí)，關(guān)系式MN²＝AM²＋BN²是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－1，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(9，0)，以AB為直徑作⊙，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，連接AC、BC，過A、B、C三點(diǎn)作拋物線．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)E是AC延長線上一點(diǎn)，∠BCE的平分線CD交⊙于點(diǎn)D，連結(jié)BD，求直線BD的解析式；

(3)在(2)的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PDB＝∠CBD？如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

閱讀下列材料，按要求解答問題：

如圖1，在ΔABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．小明通過以下計(jì)算：由題意，∠B＝30°，∠C＝90°，c＝2b，a＝b，得a²－b²＝(b)²－b²＝2b²＝b·c．即a²－b²＝bc．

于是，小明猜測：對于任意的ΔABC，當(dāng)∠A＝2∠B時(shí)，關(guān)系式a²－b²＝bc都成立．

(1)如圖2，請你用以上小明的方法，對等腰直角三角形進(jìn)行驗(yàn)證，判斷小明的猜測是否正確，并寫出驗(yàn)證過程；

(2)如圖3，你認(rèn)為小明的猜想是否正確，若認(rèn)為正確，請你證明；否則，請說明理由；

(3)若一個(gè)三角形的三邊長恰為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，且∠A＝2∠B，請直接寫出這個(gè)三角形三邊的長，不必說明理由．

如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，點(diǎn)P在矩形的邊DC上由D向C運(yùn)動(dòng)．沿直線AP翻折△ADP，形成如下四種情形．設(shè)DP＝x，△ADP和矩形重疊部分(陰影)的面積為y．

(1)如圖丁，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與C重合時(shí)，求重疊部分的面積y；

(2)如圖乙，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，翻折△ADP后，點(diǎn)D恰好落在BC邊上？這時(shí)重疊部分的面積y等于多少？

(3)閱讀材料：

已知銳角α≠45°，tan2α是角2α的正切值，它可以用角α的正切值tanα來表示，即(α≠45°)．

根據(jù)上述閱讀材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范圍．(提示：在圖丙中可設(shè)∠DAP＝α)

如圖，已知拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)(1，－5)和(－2，4)

(1)求這條拋物線的解析式．

(2)設(shè)此拋物線與直線y＝x相交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))，平行于y軸的直線與拋物線交于點(diǎn)M，與直線y＝x交于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)P，求線段MN的長(用含m的代數(shù)式表示)．

(3)在條件(2)的情況下，連接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面積S最大？若存在，請求出m的值，若不存在，請說明理由．