如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx﹣2 與x軸交于點A（﹣1，0）、B（4，0）．點M、N在x軸上，點N在點M右側(cè)，MN=2．以MN為直角邊向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．設(shè)點M的橫坐標為m．

（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．
（2）求點C在這條拋物線上時m的值．
（3）將線段CN繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到對應(yīng)線段DN．
①當點D在這條拋物線的對稱軸上時，求點D的坐標．
②以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE，當點E在這條拋物線的對稱軸上時，直接寫出所有符合條件的m值．
（參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為）

如圖，在平面直角坐標系xOy中，將拋物線C₁：y＝x²＋3先向右平移1個單位，再向下平移7個單位得到拋物線C₂。C₂的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)）。

（1）求拋物線C₂的解析式；
（2）若拋物線C₂的對稱軸與x軸交于點C，與拋物線C₂交于點D，與拋物線C₁交于點E，連結(jié)AD、DB、BE、EA，請證明四邊形ADBE是菱形，并計算它的面積；
（3）若點F為對稱軸DE上任意一點，在拋物線C₂上是否存在這樣的點G，使以O(shè)、B、F、G四點為頂點的四邊形是平行四邊形，如果存在，請求出點G的坐標，如果不存在，請說明理由。

如圖，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直線BC翻折，點A的對應(yīng)點為D，拋物線y=ax²﹣10ax+c經(jīng)過點C，頂點M在直線BC上．

（1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點D的坐標；
（2）求拋物線的對稱軸和函數(shù)表達式；
（3）在拋物線上是否存在點P，使得△PBD與△PCD的面積相等？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

如圖①，AB是半圓O的直徑，以O(shè)A為直徑作半圓C，P是半圓C上的一個動點（P與點A，O不重合），AP的延長線交半圓O于點D，其中OA=4．

（1）判斷線段AP與PD的大小關(guān)系，并說明理由；
（2）連接OD，當OD與半圓C相切時，求的長；
（3）過點D作DE⊥AB，垂足為E（如圖②），設(shè)AP=x，OE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

拋物線y=﹣x²平移后的位置如圖所示，點A，B坐標分別為（﹣1，0）、（3，0），設(shè)平移后的拋物線與y軸交于點C，其頂點為D．

（1）求平移后的拋物線的解析式和點D的坐標；
（2）∠ACB和∠ABD是否相等？請證明你的結(jié)論；
（3）點P在平移后的拋物線的對稱軸上，且△CDP與△ABC相似，求點P的坐標．

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c交y軸于點C（0，4），對稱軸x=2與x軸交于點D，頂點為M，且DM=OC+OD．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)點P（x，y）是第一象限內(nèi)該拋物線上的一個動點，△PCD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若經(jīng)過點P的直線PE與y軸交于點E，是否存在以O(shè)、P、E為頂點的三角形與△OPD全等？若存在，請求出直線PE的解析式；若不存在，請說明理由．

已知拋物線的頂點為（0，4）且與x軸交于（﹣2，0），（2，0）．

（1）直接寫出拋物線解析式；
（2）如圖，將拋物線向右平移k個單位，設(shè)平移后拋物線的頂點為D，與x軸的交點為A、B，與原拋物線的交點為P．
①當直線OD與以AB為直徑的圓相切于E時，求此時k的值；
②是否存在這樣的k值，使得點O、P、D三點恰好在同一條直線上？若存在，求出k值；若不存在，請說明理由．

直線與x、y軸分別交于點A、C．拋物線的圖象經(jīng)過A、C和點B（1，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線AC上方的拋物線上有一動點D，當D與直線AC的距離DE最大時，求出點D的坐標，并求出最大距離是多少？

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點（1，0），（5，0），（3，﹣4）．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）當y＞﹣3，寫出x的取值范圍； 
（3）A、B為直線y=﹣2x﹣6上兩動點，且距離為2，點C為二次函數(shù)圖象上的動點，當點C運動到何處時△ABC的面積最�。壳蟪龃藭r點C的坐標及△ABC面積的最小值．

如圖，拋物線y=ax²+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，﹣1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點，直線l過點E（0，﹣2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、N．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）求證：AO=AM；
（3）探究：
①當k=0時，直線y=kx與x軸重合，求出此時的值；
②試說明無論k取何值，的值都等于同一個常數(shù)．